مسائل رياضيات

حل مسألة التكافؤ العددي بأسلوب مفصل (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 30/12/2023
0

المطلوب حساب القيمة الصحيحة للمتغير nn، حيث 0≤n<90 \leq n < 9، التي تحقق المتساواة التالية: −1111≡n(mod9)-1111 \equiv n \pmod 9.

لحل هذه المسألة، نستخدم خواص النظرية العددية المتعلقة بالتكافؤ الفردي والزوجي. يمكن كتابة العدد −1111-1111 على النحو التالي:

مواضيع ذات صلة
−1111=−1100−11=−(1100+11)=−(11×100+11)=−11×(100+1)-1111 = -1100 – 11 = – (1100 + 11) = – (11 \times 100 + 11) = -11 \times (100 + 1)

ومن ثم:

−1111≡−11×(100+1)(mod9)-1111 \equiv -11 \times (100 + 1) \pmod 9

ونعلم أن −11≡−2(mod9)-11 \equiv -2 \pmod 9، لذا يمكننا كتابة:

−1111≡−2×(100+1)(mod9)-1111 \equiv -2 \times (100 + 1) \pmod 9

أو:

−1111≡−2×100−2×1(mod9)-1111 \equiv -2 \times 100 – 2 \times 1 \pmod 9

وبالتالي:

−1111≡−200−2(mod9)-1111 \equiv -200 – 2 \pmod 9

الآن، نستخدم خاصية التكافؤ للقسمة على 99، حيث نريد إيجاد قيمة nn التي تحقق التكافؤ:

−1111≡−200−2≡n(mod9)-1111 \equiv -200 – 2 \equiv n \pmod 9

يمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي:

n≡−200−2(mod9)n \equiv -200 – 2 \pmod 9

وبمبادلة الجهتين، نحصل على:

n≡−202(mod9)n \equiv -202 \pmod 9

ونعلم أن −202≡7(mod9)-202 \equiv 7 \pmod 9، لذا:

n≡7(mod9)n \equiv 7 \pmod 9

لذا، القيمة الصحيحة لـ nn هي 77، حيث 0≤7<90 \leq 7 < 9.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة المطروحة، سنقوم بتحليل العدد −1111-1111 باستخدام قوانين النظرية العددية وخواص التكافؤ. الهدف هو تحديد القيمة المتناظرة لـ nn بناءً على التكافؤ −1111≡n(mod9)-1111 \equiv n \pmod 9.

أولاً وقبل البدء في التحليل، نستخدم خاصية الجمع والطرح لتقسيم العدد −1111-1111 إلى أجزاء مناسبة. يمكن كتابة −1111-1111 على النحو التالي:

−1111=−1100−11-1111 = -1100 – 11

ثم نقوم بعملية التجزئة مرة أخرى:

=−(1100+11)=−(11×100+11)= – (1100 + 11) = – (11 \times 100 + 11)

نستخدم الآن خاصية التوزيع للحصول على تكافؤ مناسب:

=−11×(100+1)= -11 \times (100 + 1)

وبما أننا نعلم أن −11≡−2(mod9)-11 \equiv -2 \pmod 9، نستخدم هذا في التكافؤ:

−11×(100+1)≡−2×(100+1)(mod9)-11 \times (100 + 1) \equiv -2 \times (100 + 1) \pmod 9

ومن ثم:

≡−2×100−2×1(mod9)\equiv -2 \times 100 – 2 \times 1 \pmod 9

≡−200−2(mod9)\equiv -200 – 2 \pmod 9

الخطوة التالية هي استخدام قاعدة التكافؤ للجمع والطرح لتبسيط التكافؤ:

≡−202(mod9)\equiv -202 \pmod 9

الآن، نحتاج إلى تحديد القيمة المتناظرة لـ nn بحيث −202≡n(mod9)-202 \equiv n \pmod 9. باستخدام الخاصية الأساسية للتكافؤ، يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو التالي:

n≡−202(mod9)n \equiv -202 \pmod 9

وعند التبسيط:

n≡7(mod9)n \equiv 7 \pmod 9

هذا يعني أن القيمة المتناظرة لـ nn هي 77، وهي الحل النهائي.

تم استخدام القوانين والخواص التالية في الحل:

  1. قاعدة التوزيع: تم استخدامها لتقسيم العدد الكبير إلى أجزاء أكثر مناسبة.

  2. قاعدة التكافؤ للضرب: تم استخدامها لتحويل −11-11 إلى −2-2 في التكافؤ.

  3. قاعدة التكافؤ للجمع والطرح: تم استخدامها لتبسيط التكافؤ في الخطوات الأخيرة.

  4. الخاصية الأساسية للتكافؤ: تم استخدامها لتحديد القيمة المتناظرة لـ nn في النهاية.

اخر تحديث 30/12/2023
0