حل مسألة التفاوتات الحسابية (مسألة رياضيات)

عدد الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ التي تحقق الشرط $(n + 8)(n – 3)(n-12)<0$ يمكن تحديده عن طريق دراسة علامات العبارة في الفضاء العددي.

أولاً، نلاحظ أن العبارة $(n + 8)(n – 3)(n-12)$ تتغير بين الإيجابية والسلبية عندما يتغير $n$ بين القيم $-8$، $3$، و $12$، ونريد أن نعرف في أي مناطق يكون العبارة سالبة.

نبدأ بتحديد النقاط الثلاثة $-8$، $3$، و $12$ على خط الأعداد. عند $n = -8$، يتحول عامل $(n + 8)$ إلى صفر، وعاملي $(n – 3)$ و$(n – 12)$ يكونان موجبين، لذا العبارة تأخذ قيمة صفر. عند $n = 3$، يتحول عامل $(n – 3)$ إلى صفر، وعاملي $(n + 8)$ و$(n – 12)$ يكونان سالبين، لذا العبارة تأخذ قيمة إيجابية. أخيرًا، عند $n = 12$، يتحول عامل $(n – 12)$ إلى صفر، وعاملي $(n + 8)$ و$(n – 3)$ يكونان موجبين، لذا العبارة تأخذ قيمة صفر.

بناءً على ذلك، نلاحظ أن العبارة تتغير من سالبة إلى إيجابية عندما نتحرك من $n = -8$ إلى $n = 3$، وتتغير من إيجابية إلى سالبة عندما نتحرك من $n = 3$ إلى $n = 12$. إذاً، الأعداد التي تحقق الشرط هي تلك التي تقع بين $n = -8$ و $n = 3$.

بالتالي، عدد الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ التي تحقق الشرط $(n + 8)(n – 3)(n-12)<0$ هو عدد الأعداد بين $-8$ و $3$، بما في ذلك $-8$ و $3$ نفسها. وبما أن هذه الأعداد هي: $-7, -6, -5, -4, -3, 0, 1, 2, 3$، فإن عددها يساوي $9$.

لحل مسألة $(n + 8)(n – 3)(n-12)<0$، نحتاج إلى فهم قوانين العلامات وكيفية تطبيقها على تحليل المتغير $n$ في العبارة المعطاة.

قوانين العلامات:

1. عندما يكون عدد من العوامل سالبًا، وعدد زوجي من العوامل إيجابي، فإن الناتج سالب.
2. عندما يكون عدد فردي من العوامل سالبًا، فإن الناتج إيجابي.

الخطوات:

1. نعثر على النقاط التي تجعل العبارة تتغير بين الإيجابية والسلبية.
2. نستخدم قوانين العلامات لتحديد الفترات التي تحقق الشرط المعطى.

الآن، دعنا نحل المسألة:

أولاً، نحدد النقاط حيث تتغير العبارة بين الإيجابية والسلبية. هذه النقاط هي قيم $n$ التي تجعل أحد العوامل صفرًا، وهي $-8$، $3$، و $12$.

ثانيًا، نقوم بتقسيم خط الأعداد إلى فترات بين هذه النقاط. هذه الفترات هي:

• $( -\infty, -8)$
• $(-8, 3)$
• $(3, 12)$
• $(12, +\infty)$

ثالثًا، نحدد علامة العبارة في كل فترة باختيار نقطة تمثلها واختبار قيمتها في العبارة. مثلاً، نختبر القيمة $n = 0$ في العبارة للتحقق من علامة الفترة الثانية.

أخيرًا، نستنتج من علامات الفترات أي فترات تحقق الشرط. في هذه المسألة، نرى أن العبارة تكون سالبة في الفترة $(-8, 3)$.

وبالتالي، نستنتج أن الأعداد التي تحقق الشرط هي تلك التي تقع في هذه الفترة، وهي $-7, -6, -5, -4, -3, 0, 1, 2$، بالإضافة إلى الحدود $-8$ و $3$، مما يجعل عددها يساوي $9$.

هذه الطريقة تعتمد على فهم عميق لقوانين العلامات وكيفية تطبيقها على حسابات الأعداد الصحيحة، مما يساعد في حل مثل هذه المسائل بدقة وفعالية.