حل مسألة التفاضلات الجبرية (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد عدد الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ التي تحقق الشرط التالي:

$(n + 8)(n – 3)(n – 12) < 0$

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام فكرة تحديد علامات التعبيرات داخل الناتج. لنبدأ بتحديد النقاط الحرجة على المحور $n$ حيث تتغير علامات التعبير:

1. عندما يكون $(n + 8) = 0$ ، نحصل على $n = -8$.
2. عندما يكون $(n – 3) = 0$ ، نحصل على $n = 3$.
3. عندما يكون $(n – 12) = 0$ ، نحصل على $n = 12$.

هذه النقاط تقسم المحور إلى أربعة مجالات:

• مجال 1: $n < -8$
• مجال 2: $-8 < n < 3$
• مجال 3: $3 < n < 12$
• مجال 4: $n > 12$

الآن، لنحدد علامات التعبيرات في كل مجال:

1. في مجال 1: جميع الأعداد أقل من $-8$، لذا يكون $(n + 8)$ و $(n – 3)$ و $(n – 12)$ سالبة، وناتج الضرب سيكون سالبا.
2. في مجال 2: $(n + 8)$ موجبة، $(n – 3)$ سالبة، $(n – 12)$ سالبة، لذا يكون الناتج إيجابيا.
3. في مجال 3: $(n + 8)$ موجبة، $(n – 3)$ موجبة، $(n – 12)$ سالبة، لذا يكون الناتج سالبا.
4. في مجال 4: جميع الأعداد أكبر من $12$، لذا يكون $(n + 8)$ و $(n – 3)$ و $(n – 12)$ موجبة، وناتج الضرب سيكون إيجابيا.

الآن، نحن بحاجة إلى إيجاد الأعداد الصحيحة الموجبة التي تحقق التعبير $<(n + 8)(n - 3)(n - 12) < 0$. هذا يحدث فقط في مجال 2 حيث يكون الناتج سالبا.

إذا، الحل هو: $-8 < n < 3$. لذا يوجد $3 - (-8) = 11$ عدد صحيح موجب يحقق الشرط.

لحل المسألة وتحديد عدد الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ التي تحقق الشرط $(n + 8)(n – 3)(n-12) < 0$, نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والتفاعلات بين الأعداد وعلاماتها على المحور.

أولاً، يجب فهم قانون علامات التعبيرات:

• عندما يكون العدد الناتج عن ضرب عدد زوج من العوامل سالب، يجب أن يكون عدد فردي من هذه العوامل سالب.
• عندما يكون العدد الناتج عن ضرب عدد فردي من العوامل سالب، يجب أن يكون جميع العوامل إما سالبة أو إيجابية.

ثانياً، لنبدأ بتحليل الناتج $(n + 8)(n – 3)(n-12)$. يتضمن هذا التعبير ثلاثة عوامل:

1. $n + 8$
2. $n – 3$
3. $n – 12$

نحتاج إلى معرفة النقاط التي تتغير فيها علامات التعبير. هذه النقاط تحدث عندما تساوي كل عاملة صفرًا، أي:

1. $n + 8 = 0$ يعطي $n = -8$.
2. $n – 3 = 0$ يعطي $n = 3$.
3. $n – 12 = 0$ يعطي $n = 12$.

الآن، لتحديد المجالات التي تحقق الشرط، نأخذ علامات التعبير في كل منطقة من المحور:

• عند $n < -8$: جميع العوامل سالبة، لذا الناتج سالب.
• بين $-8 < n < 3$: عامل واحد موجب واثنان سالبان، لذا الناتج إيجابي.
• بين $3 < n < 12$: اثنان موجبان وعامل واحد سالب، لذا الناتج سالب.
• عند $n > 12$: جميع العوامل موجبة، لذا الناتج إيجابي.

وبالتالي، يحقق الشرط $(n + 8)(n – 3)(n-12) < 0$ في الفترة بين $-8 < n < 3$. لذا، الأعداد الصحيحة الموجبة التي تحقق الشرط هي الأعداد من -8 إلى 2، بما في ذلك الأعداد -7، -6، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2. وبالتالي، عددها هو 11.