حل مسألة: التعبيرات الجبرية والتوسيعات (مسألة رياضيات)

إذا كان $\left( r + \frac{1}{r} \right)^2 = 3,$ نريد إيجاد قيمة التعبير $r^3 + \frac{1}{r^3}.$

لحل هذه المسألة، نبدأ بفك تعبير $(r + \frac{1}{r})^2$ باستخدام قاعدة التوسيع:

$(r + \frac{1}{r})^2 = r^2 + 2 + \frac{1}{r^2}$

ووفقاً للبيانات المعطاة، نعلم أن $(r + \frac{1}{r})^2 = 3$، لذا:

$r^2 + 2 + \frac{1}{r^2} = 3$

الآن، يمكننا أن نعيد ترتيب المعادلة للحصول على تعبير $r^2 + \frac{1}{r^2}$:

$r^2 + \frac{1}{r^2} = 3 – 2 = 1$

الآن نحتاج إلى العثور على $r^3 + \frac{1}{r^3}$. للقيام بذلك، نستخدم الهوية:

$r^3 + \frac{1}{r^3} = (r + \frac{1}{r})(r^2 + \frac{1}{r^2}) – (r + \frac{1}{r})$

نعرف أن $r^2 + \frac{1}{r^2} = 1$ و $r + \frac{1}{r} = \sqrt{3}$، لذا:

$r^3 + \frac{1}{r^3} = (\sqrt{3})(1) – (\sqrt{3}) = \sqrt{3} – \sqrt{3} = 0$

إذاً، قيمة التعبير $r^3 + \frac{1}{r^3}$ هي صفر.

لحل المسألة، نبدأ باستخدام القانون التالي:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

وفي هذه الحالة، لدينا:
$(r + \frac{1}{r})^2 = r^2 + 2 \cdot r \cdot \frac{1}{r} + (\frac{1}{r})^2 = r^2 + 2 + (\frac{1}{r})^2$

وبما أنه وفقاً للسؤال، $(r + \frac{1}{r})^2 = 3$، نحصل على المعادلة التالية:
$r^2 + 2 + \frac{1}{r^2} = 3$

ومن ثم:
$r^2 + \frac{1}{r^2} = 3 – 2 = 1$

الآن، نستخدم قاعدة أخرى في حل المسألة:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)$

باستخدام هذه القاعدة والقيم التي لدينا ($r^2 + \frac{1}{r^2} = 1$ و $r + \frac{1}{r} = \sqrt{3}$)، نحصل على:
$r^3 + \frac{1}{r^3} = (r + \frac{1}{r})(r^2 – r\frac{1}{r} + \frac{1}{r^2}) – (r + \frac{1}{r})$
$= (r + \frac{1}{r})(r^2 – 1 + \frac{1}{r^2}) – (r + \frac{1}{r})$

ونعرف بالفعل أن $r^2 + \frac{1}{r^2} = 1$ و $r + \frac{1}{r} = \sqrt{3}$، لذا:
$r^3 + \frac{1}{r^3} = (\sqrt{3})(1 – 1) – (\sqrt{3}) = 0$

وهذا يكون حلاً كاملاً للمسألة.

للتوضيح، القوانين المستخدمة هي:

1. توسيع الأساسيات: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. هوية التكعيب: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)$