حل مسألة: التعامد بين الخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد قيمة المتغير $a$ بحيث تكون الخطوط الممثلة بالمعادلات التالية متعامدة:

$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

و

$\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{3}{2} \\ -5 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 2 \end{pmatrix}$

للتحقق من التعامد، يجب أن يكون حاصل ضرب الاتجاهين للخطوط يساوي صفر. لنحسب الحاصل الضربي:

$(a, -2, 1) \cdot (1, \frac{3}{2}, 2) = a \cdot 1 + (-2) \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot 2 = a – 3 + 2 = a – 1$

الآن، نحتاج إلى حاصل ضرب $a – 1$ أن يكون صفرًا لضمان التعامد. إذاً:

$a – 1 = 0$

$a = 1$

إذا كانت قيمة المتغير $a$ تساوي واحد، فإن الخطوط الممثلة بالمعادلات المعطاة تكون متعامدة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم خاصية التعامد بين الخطوط. إذا كانت الخطوط متعامدة، فإن حاصل ضرب الاتجاهين للخطين يكون يساوي صفر.

لنبدأ بتعريف الخطوط الممثلة بالمعادلات المعطاة:

1. الخط الأول:
   $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. الخط الثاني:
   $\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{3}{2} \\ -5 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 2 \end{pmatrix}$

الآن، سنستخدم خاصية التعامد، وهي أن حاصل ضرب الاتجاهين للخطين يكون يساوي صفر. إذاً، نقوم بحساب الحاصل الضربي:

$(a, -2, 1) \cdot (1, \frac{3}{2}, 2) = a \cdot 1 + (-2) \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot 2 = a – 3 + 2 = a – 1$

الخطوة التالية هي جعل الحاصل الضربي يساوي صفر، لذا:

$a – 1 = 0$

$a = 1$

لذا، قيمة المتغير $a$ التي تجعل الخطوط متعامدة هي 1.

القوانين المستخدمة:

1. خاصية التعامد بين الخطوط: حاصل ضرب الاتجاهين للخطوط المتعامدة يساوي صفر.

2. ضرب مصفوفات: نستخدم عملية ضرب المصفوفات لحساب الحاصل الضربي بين الاتجاهين للخطوط.

3. حل المعادلات: نستخدم عملية حل المعادلة للعثور على قيمة المتغير $a$ التي تحقق التعامد.