حل مسألة: التعامد بين الخطوط في الفضاء (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد قيمة $a$ حتى تكون الخطوط المعطاة متعامدة. إذا كانت الخطوط متعامدة، فإنَّ الزاوية بينهما تساوي $90^\circ$، وبالتالي يكون حاصل ضرب الاتجاهين مساويًا للصفر.

للعثور على قيمة $a$، نحتاج إلى حساب حاصل الضرب بين الاتجاهين وجعله يساوي الصفر.

"Link To Share" هو منصتك التسويقية الشاملة لتوجيه جمهورك إلى كل ما تقدمه بسهولة واحترافية.

• صفحات بروفايل (Bio) عصرية ومخصّصة • تقصير روابط مع تحليلات متقدّمة • إنشاء رموز QR تفاعلية بعلامة تجارية • استضافة مواقع ثابتة وإدارة أكواد • أدوات ويب متنوعة لتنمية أعمالك

ابدأ الآن وارتقِ بمشاريعك!

الاتجاه الأول: $\begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
الاتجاه الثاني: $\begin{pmatrix} 1 \\ 3/2 \\ X \end{pmatrix}$

الحاصل الضرب لهما:
$a \cdot 1 + (-2) \cdot (3/2) + 1 \cdot X = 0$
$a – 3 + X = 0$

الآن، بما أننا نعرف أن قيمة $a$ هي 1، يمكننا حساب قيمة $X$ بسهولة.

$1 – 3 + X = 0$
$X = 3 – 1$
$X = 2$

إذاً، قيمة المتغير X هي 2.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى استخدام خاصية تعامد الخطوط. عندما يكونت اثنتين من الخطوط في الفضاء غير المنحرف (ثلاثي) متعامدتين، فإن متجهات اتجاههما يكونان متعامدتين أيضًا. وهذا يعني أن حاصل ضرب الاتجاهين للخطين المعطاة يجب أن يكون يساوي صفر.

القانون المستخدم:

إذا كانت لدينا خطين في الفضاء مع متجهات اتجاههما $\mathbf{v}_1$ و $\mathbf{v}_2$، فإن الشرط اللازم لتعامد الخطين هو أن يكون حاصل ضرب متجهات اتجاههما يساوي صفر. بشكل رمزي، نكتب هذا الشرط على النحو التالي:

$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 0$

الحل:

للخط الأول، لدينا المتجه $\begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$، وللخط الثاني، لدينا المتجه $\begin{pmatrix} 1 \\ 3/2 \\ X \end{pmatrix}$.

نضرب المكونات المقابلة ونجمع الناتج:

$a \cdot 1 + (-2) \cdot (3/2) + 1 \cdot X = 0$
$a – 3 + X = 0$

ونعلم أن $a = 1$، لذا:

$1 – 3 + X = 0$
$X = 3 – 1$
$X = 2$

إذاً، قيمة المتغير $X$ تساوي 2.

هذا الحل يعتمد على مفهوم الجداء الداخلي للمتجهات وخاصية التعامد في الفضاء الثلاثي.