حل مسألة التسلسل الرياضي (مسألة رياضيات)

التسلسل معطى بالشكل التالي: $a_0 = \frac{1}{2}$ و $a_n = 1 + (a_{n – 1} – 1)^2$. نريد إيجاد حاصل ضرب جميع العناصر في التسلسل $a_0 a_1 a_2 \dotsm$.

للحل:

لنقم بتحديد الأعضاء القليلة الأولى في التسلسل لنفهم سلوكه بشكل أفضل.

يبدو أن التسلسل يتجه نحو قيم أكبر من الوحدة. لنقم بمحاولة إيجاد نمط. بدأنا بـ $a_0 = \frac{1}{2}$، ومن ثم كل مرة نقوم فيها بحساب القيمة الجديدة بناءً على القيمة السابقة.

لحساب القيمة التالية في التسلسل، نقوم بخطوتين:

1. نقوم بطرح واحد من العنصر السابق $a_{n-1}$.
2. نربع الفرق الناتج.

لحساب حاصل الضرب لجميع العناصر في التسلسل، فإنه يمكننا استخدام العملية التي استخدمناها للعناصر الأولى وتكرارها للعناصر اللاحقة.

لذلك، نبدأ بالقيمة الأولى $a_0 = \frac{1}{2}$ ونقوم بالعمليات التالية:

الآن، نقوم بتكرار هذه العملية للحصول على التسلسل كاملاً. ولكن لحساب حاصل الضرب لجميع العناصر، يمكننا ملاحظة أن العوامل المتكررة تختفي بشكل طبيعي:

لاحظ أن العوامل المتكررة من البسط والمقام ستختفي. وبما أن البسط يحتوي على جميع الأعداد الفردية الموجبة، والمقام يحتوي على جميع الأعداد الزوجية الموجبة، فإن العوامل المتكررة ستُخرج في النهاية.

بمعنى آخر، العوامل المتكررة ستُخرج من الحاصل النهائي، وسيبقى لدينا فقط الأعداد الفردية من البسط والأعداد الزوجية من المقام.

إذا، حاصل الضرب لجميع العناصر في التسلسل هو:

ونظراً لعدم وجود نهاية للتسلسل، فإن العوامل المتبقية تشكل العدد 0. وبالتالي، حاصل الضرب هو صفر.

لحل المسألة وإيجاد حاصل ضرب جميع العناصر في التسلسل $a_0 a_1 a_2 \dotsm$، سنقوم بتحليل العلاقة الرياضية المعطاة واستخدام بعض القوانين الحسابية والتلاعب بالتسلسلات.

العلاقة الرياضية المعطاة هي:

$a_n = 1 + (a_{n – 1} – 1)^2$

وحاصل الضرب الذي نسعى لإيجاده هو:

$a_0 a_1 a_2 \dotsm$

نبدأ بتحليل العلاقة الرياضية:

1. القانون الأول للحساب: نبدأ بقيمة $a_0 = \frac{1}{2}$ ونستخدم العلاقة الرياضية للحصول على $a_1$، ثم نستخدم $a_1$ للحصول على $a_2$، وهكذا.

2. قانون القوى: نرى أننا نقوم برفع الفرق بين $a_{n-1}$ و 1 إلى السلطة الثانية.

3. الجمع والطرح في الأعداد الكسرية: نستخدم الجمع والطرح في الأعداد الكسرية لحساب القيم التالية في التسلسل.

4. التلاعب بالكسور: نستخدم قوانين الكسور لتبسيط العبارات والتلاعب بها.

5. التسلسلات اللا نهائية: ندرك أن التسلسل قد يكون لا نهائياً، ولذلك نحتاج إلى فهم كيفية التعامل مع التسلسلات التي لا نهاية لها.

6. استنتاج النمط: من خلال تحليل القيم الأولى، نحاول استنتاج النمط الذي يتبعه التسلسل.

الآن، نقوم بتكرار العملية وتطبيق القوانين المذكورة أعلاه للحصول على التسلسل كاملاً، ثم نقوم بحساب حاصل الضرب.

باختصار، الحل يتطلب فهماً عميقاً للعلاقات الرياضية المعطاة والقوانين الحسابية، بالإضافة إلى القدرة على التلاعب بالتسلسلات والكسور.