حل مسألة: التسلسل الحسابي والمعادلات الخطية (مسألة رياضيات)

مجموع أربعة أعداد صحيحة موجبة تشكل تسلسل حسابي هو X. ما هو أكبر قيمة ممكنة للعنصر الثالث في التسلسل؟
إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال أعلاه هي 15، فما هو قيمة المتغير المجهول X؟

لنفترض أن الأعداد الأربعة في التسلسل الحسابي هي $a, a+d, a+2d, a+3d$.

المتغير $a$ هو العنصر الأول في التسلسل، و $d$ هو الفرق بين كل عنصر متتالي في التسلسل.

بما أن مجموع الأعداد الأربعة هو $X$، فإننا نحصل على المعادلة التالية:
$4a + 6d = X$

وبما أن القيمة الثالثة في التسلسل هي $a + 2d$، فإن القيمة المطلوبة هي $a + 2d$.

والآن نحتاج إلى حل المعادلة بحيث يكون العنصر الثالث في التسلسل هو 15.

$a + 2d = 15$

لدينا نظام من معادلتين:
$4a + 6d = X$
$a + 2d = 15$

نقوم بحل النظام من خلال طرق حل المعادلات الخطية. لنضرب المعادلة الثانية في 2 ونطرحها من المعادلة الأولى:
$4a + 6d – 2(a + 2d) = X – 2 \times 15$
$4a + 6d – 2a – 4d = X – 30$
$2a + 2d = X – 30$
$2(a + d) = X – 30$

ومن المعادلة الثانية في النظام:
$a + 2d = 15$
$a = 15 – 2d$

نستبدل قيمة $a$ في المعادلة السابقة:
$2((15 – 2d) + d) = X – 30$
$2(15 – d) = X – 30$
$30 – 2d = X – 30$
$X = 60 – 2d$

الآن، إذا كانت قيمة العنصر الثالث في التسلسل هي 15، فإن:
$a + 2d = 15$
$15 – 2d + 2d = 15$
$15 = 15$

وهذا يعني أن المعادلة الثانية تتحقق.

وبالتالي، قيمة $X$ عندما يكون العنصر الثالث في التسلسل هو 15 هي 60.

إذاً، القيمة المجهولة $X$ هي 60.

في حل المسألة المذكورة، استخدمنا مفهوم التسلسل الحسابي وبعض قوانين الجبر وحل معادلات الخطوط.

1. مفهوم التسلسل الحسابي:

   • التسلسل الحسابي هو تسلسل من الأعداد حيث يكون الفرق بين كل عنصر متتالي ثابتًا.
   • في هذه المسألة، تمثل الأعداد الأربعة في التسلسل الحسابي $a$, $a+d$, $a+2d$, و $a+3d$.

2. قانون مجموع العناصر في التسلسل الحسابي:

   • مجموع عناصر التسلسل الحسابي يتناسب مع عددها ومع مجموع أول وآخر عنصر في التسلسل.

3. مفهوم حل المعادلات الخطية:

   • لقد استخدمنا مفهوم حل المعادلات الخطية لحساب القيم المجهولة $a$ و $d$، حيث تمثل $a$ العنصر الأول في التسلسل و$d$ الفرق بين العناصر.

4. حل نظام المعادلات:

   • نظام المعادلات الخطية تم استخدامه لحساب قيم $a$ و $d$ بناءً على المعطيات المعروفة في المسألة.

5. الاستنتاج الرياضي:

   • استخدمنا الاستنتاج الرياضي لتحديد قيمة $X$ عندما يكون العنصر الثالث في التسلسل هو 15.

من خلال تطبيق هذه القوانين والمفاهيم الرياضية، تمكنا من حل المسألة وتحديد قيمة المتغير المجهول $X$ وهي 60.