حل مسألة: التسلسل الحسابي والأعداد (مسألة رياضيات)

التسلسل $2، 7، 12، a، b، 27$ هو حسابي. ما قيمة $a + b$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى تحديد القاعدة التي يتبعها التسلسل الحسابي.

نعلم أن التسلسل الحسابي يكون بتوجد فرق ثابت بين كل عنصرين متتاليين.

نستخدم هذه المعلومة لحساب الفرق بين الأعداد المتتالية في التسلسل:

الفرق بين 2 و 7 = 7 – 2 = 5
الفرق بين 7 و 12 = 12 – 7 = 5
الفرق بين 12 و $a$ يجب أن يكون نفس الفرق، لذا $a = 12 + 5 = 17$
الفرق بين $a$ و $b$ يجب أن يكون نفس الفرق، لذا $b = a + 5 = 17 + 5 = 22$
الفرق بين $b$ و 27 يجب أن يكون نفس الفرق، لذا $27 – b = 27 – 22 = 5$

وبالتالي، نعرف أن $b = 22$. وبالتالي، يمكننا حساب $a$ باستخدام الفرق المتسلسلة:
$a = 17$

أخيرًا، نحسب $a + b$:
$a + b = 17 + 22 = 39$

إذاً، قيمة $a + b$ هي 39.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم التسلسل الحسابي والقوانين الخاصة به.

1. مفهوم التسلسل الحسابي: التسلسل الحسابي هو تسلسل من الأعداد حيث يتم توليد كل عنصر من خلال إضافة قيمة ثابتة إلى العنصر السابق. يمكن تمثيل هذا بصيغة عامة للعنصر الثالث في التسلسل بالشكل التالي: $a_n = a_1 + (n – 1)d$ حيث $a_n$ هو العنصر الثالث في التسلسل، $a_1$ هو العنصر الأول، و$d$ هو الفرق الثابت بين العناصر المتتالية، و$n$ هو موضع العنصر في التسلسل.

2. حساب الفرق الثابت: نستخدم الفرق بين العناصر المتتالية في التسلسل لتحديد القيم التالية. إذا كان التسلسل الحسابي، فإن الفرق بين أي عنصرين متتاليين يجب أن يكون ثابتًا.

باستخدام هذه القوانين، نبدأ في حل المسألة:

نعلم أن الفرق بين كل عنصرين متتاليين هو ثابت ويمثل قيمة العنصر الثالث نقوم بجمع العنصر الأول (2) مع الفرق بين العناصر (5) للحصول على العنصر الثالث في التسلسل، وهكذا:

بما أن القيمة صحيحة، نستطيع استخدام نفس الفرق لحساب القيم التالية:

• العنصر الرابع: $a = 12 + 5 = 17$
• العنصر الخامس: $b = 17 + 5 = 22$
• العنصر السادس: $27 = b + 5 = 22 + 5 = 27$

وبالتالي، نحصل على قيمة $a = 17$ و $b = 22$، ونقوم بجمعهما للحصول على الجواب النهائي:

$a + b = 17 + 22 = 39$

إذاً، قيمة $a + b$ هي 39.