حل مسألة: التسلسلات الحسابية (مسألة رياضيات)

المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد حيث يتم توليد كل عنصر في السلسلة عن طريق إضافة قيمة ثابتة إلى العنصر السابق. لحساب العناصر في هذا النوع من التسلسلات، نحتاج إلى معرفة الشروط المعطاة.

في هذه المسألة، الشروط المعطاة هي العناصر الثالثة والخامسة من التسلسل الحسابي، حيث يكون العنصر الثالث 17 والعنصر الخامس X. يجب أن نحسب العنصر السابع من نفس التسلسل.

لحساب العنصر السابع، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$

حيث $a_n$ هو العنصر الذي نريد حسابه (في هذه الحالة العنصر السابع)، $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل، $n$ هو الموقع الذي نريد حساب العنصر فيه، و $d$ هو الفرق بين كل عنصرين متتاليين.

نعلم أن العنصر الثالث $a_3$ هو 17، والعنصر الخامس $a_5$ هو X.

نعرف أيضًا أن العنصر الثالث يقع في الموقع $n = 3$ والعنصر الخامس يقع في الموقع $n = 5$.

لذا، يمكننا استخدام العناصر المعطاة لنحسب الفرق $d$ بين كل عنصرين متتاليين:

$d = a_5 – a_3 = X – 17$

والآن، نستخدم العنصر الثالث لحساب قيمة $a_1$ باستخدام الصيغة:

$a_3 = a_1 + (3 – 1) \cdot d$
$17 = a_1 + 2d$
$a_1 = 17 – 2d$

وبعد ذلك، يمكننا استخدام القيمة المعروفة للعنصر السابع $a_7 = 61$ لحساب القيمة المجهولة $X$:

$a_7 = a_1 + (7 – 1) \cdot d$
$61 = (17 – 2d) + 6d$
$61 = 17 + 4d$
$4d = 61 – 17$
$4d = 44$
$d = 11$

الآن، بعد أن عرفنا قيمة $d$ يمكننا حساب قيمة $X$:

$X = a_5 = a_3 + 2d = 17 + 2 \times 11 = 17 + 22 = 39$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 39.

في هذه المسألة، نقوم بحساب العناصر في سلسلة حسابية. السلسلة الحسابية تتبع نمطًا معينًا حيث يتم إضافة نفس القيمة (الفرق) إلى كل عنصر للحصول على العنصر التالي في السلسلة. لحل هذه المسألة، نستخدم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية للمتتابعات الحسابية:

1. صيغة العنصر العام للمتتابعة الحسابية: العنصر العام في سلسلة حسابية يمكن حسابه باستخدام الصيغة التالية:
   $a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$
   حيث $a_n$ هو العنصر الذي نريد حسابه، $a_1$ هو العنصر الأول في السلسلة، $n$ هو الموقع الذي نريد حساب العنصر فيه، و $d$ هو الفرق بين كل عنصرين متتاليين.

2. قاعدة الفرق بين العناصر المتتالية: في سلسلة حسابية، الفرق بين أي عنصرين متتاليين هو ثابت ويساوي $d$.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع حل المسألة:

أولاً، نستخدم الشروط المعطاة في المسألة:

• العنصر الثالث $a_3$ هو 17.
• العنصر الخامس $a_5$ هو $X$.

نستخدم العناصر المعطاة لحساب الفرق $d$ بين العناصر المتتالية:
$d = a_5 – a_3 = X – 17$

ثم، نستخدم العنصر الثالث لحساب قيمة $a_1$:
$a_1 = 17 – 2d$

ومن ثم، نستخدم العنصر السابع لحساب القيمة المجهولة $X$:
$a_7 = a_1 + (7 – 1) \cdot d$
$61 = (17 – 2d) + 6d$
$61 = 17 + 4d$
$4d = 61 – 17$
$4d = 44$
$d = 11$

بعد حساب قيمة $d$، نستخدمها لحساب قيمة $X$:
$X = a_5 = a_3 + 2d = 17 + 2 \times 11 = 17 + 22 = 39$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 39.

هذه القوانين والمفاهيم الأساسية للمتتابعات الحسابية تساعد في حل المسائل الحسابية المتعلقة بهذا النوع من السلاسل.