حل مسألة: التسرب ومعدلات العمل (مسألة رياضيات)

أولاً، دعونا نعيد صياغة المسألة باللغة العربية:

قادرة على ملء خزان في 6 ساعات، ولكن بسبب تسرب في القاع، يستغرق ملء الخزان بواسطة هذه الأنبوبة 10 ساعات. كم الوقت الذي يحتاجه التسرب وحده لتفريغ الخزان بأكمله؟

الآن دعونا نقوم بحل المسألة:

لنفترض أن حجم الخزان هو 1 وحدة (يمكن أن يكون أي وحدة تعبر عن الحجم).

معدل عمل أنبوبة أ هو 1/6 من الخزان في الساعة، ولكن بسبب التسرب، أصبح المعدل الفعلي لأنبوبة أ هو 1/10.

للعثور على معدل التسرب وحده، نقوم بطرح المعدل الفعلي لأنبوبة أ من المعدل الأصلي:
$\text{معدل التسرب وحده} = \frac{1}{6} – \frac{1}{10} = \frac{5}{30} – \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

لذا، يحتاج التسرب وحده لفرغ الخزان في $15$ ساعة.

وبالتالي، يستغرق التسرب وحده $15$ ساعة لتفريغ الخزان بأكمله.

بناءً على المعلومات المقدمة في المسألة، نستخدم مفهوم العمل ومعدل العمل لحل المسألة. لنقم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل:

لنعتبر حجم الخزان هو وحدة واحدة (يمكن أن يكون أي وحدة تعبر عن الحجم). إذاً، معدل عمل الأنبوبة أ (دون التسرب) هو 1/6 من الخزان في الساعة. ولكن بسبب وجود التسرب، يصبح المعدل الفعلي للأنبوبة أ هو 1/10.

إذاً، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$معدل الأنبوبة\,أ\,مع\,التسرب = معدل الأنبوبة\,أ\,دون\,التسرب – معدل التسرب$

$\frac{1}{10} = \frac{1}{6} – معدل\,التسرب$

الآن، نقوم بحساب معدل التسرب:

$معدل\,التسرب = \frac{1}{6} – \frac{1}{10}$

$معدل\,التسرب = \frac{5}{30} – \frac{3}{30}$

$معدل\,التسرب = \frac{2}{30}$

$معدل\,التسرب = \frac{1}{15}$

لدينا الآن معدل التسرب، ونعلم أنه يستغرق 1/15 من الخزان في الساعة. لحساب الزمن الذي يحتاجه التسرب لتفريغ الخزان بأكمله، نقوم بتقسيم حجم الخزان على معدل التسرب:

$الزمن\,الذي\,يحتاجه\,التسرب\,لتفريغ\,الخزان = \frac{1}{معدل\,التسرب}$

$الزمن\,الذي\,يحتاجه\,التسرب\,لتفريغ\,الخزان = \frac{1}{\frac{1}{15}}$

$الزمن\,الذي\,يحتاجه\,التسرب\,لتفريغ\,الخزان = 15$

لذا، يحتاج التسرب وحده لفرغ الخزان في 15 ساعة.

القوانين المستخدمة:

1. معدل العمل: معدل العمل يعبر عن الكمية التي يتم إنجازها في وحدة زمنية.
2. قاعدة التساوي: في المسألة، قمنا باستخدام معدل العمل للأنبوبة مع التسرب ومقارنته بمعدل العمل للأنبوبة دون التسرب.
3. الزمن والمسافة: استخدمنا علاقة الزمن والمعدل لحساب الزمن الذي يحتاجه التسرب لتفريغ الخزان بأكمله.