حل مسألة الترتيب بالتكرار: 81 طريقة لوضع 4 كرات في 3 صناديق (مسألة رياضيات)

عدد الطرق التي يمكن بها وضع 4 كرات لا تمييز بينها في 3 صناديق قابلة للتمييز هو مسألة رياضية تتطلب فهماً عميقاً لقواعد الكميات والتجميعات. لنقم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية ثم نقدم الحل بشرح مفصل.

المسألة:
في كم طريقة يمكن وضع 4 كرات لا تمييز بينها في 3 صناديق قابلة للتمييز؟

الحل:
لحساب عدد الطرق التي يمكن بها وضع الكرات في الصناديق، يجب أولاً فهم كيفية توزيع الكرات.

نستخدم هنا مبدأ “الترتيب مع التكرار”، حيث إن الكرات لا تميز بينها والصناديق قابلة للتمييز. لكل كرة أربع احتمالات للوضع في إحدى الصناديق الثلاث. ونظرًا لأن هناك 4 كرات، يمكننا استخدام قاعدة الضرب لحساب الإجمال.

عدد الطرق = عدد الاحتمالات لوضع الكرة الأولى * عدد الاحتمالات لوضع الكرة الثانية * عدد الاحتمالات لوضع الكرة الثالثة * عدد الاحتمالات لوضع الكرة الرابعة

عدد الطرق = 3 * 3 * 3 * 3 = 81

إذاً، هناك 81 طريقة ممكنة لوضع الكرات في الصناديق.

لحل هذه المسألة، نستخدم مبدأ الكميات والتجميعات مع الترتيب مع التكرار. قبل أن نقوم بتوضيح القوانين المستخدمة، دعونا نفهم المفاهيم الرئيسية:

1. الكميات والتجميعات:

   • هي فرع من الرياضيات يتناول دراسة الطرق الممكنة لترتيب واختيار العناصر.

2. الترتيب مع التكرار:

   • يتعلق بترتيب مجموعة من العناصر حيث يُسمح بتكرار العناصر في الترتيب.

المسألة:
نريد حساب عدد الطرق التي يمكن بها وضع 4 كرات لا تمييز بينها في 3 صناديق قابلة للتمييز.

الحل:
لنستخدم مبدأ “الترتيب مع التكرار”، وهو يأتي من مبدأ الضرب.

1. عدد الاحتمالات لوضع الكرة الأولى:

   • لكل كرة هناك 3 احتمالات لوضعها في إحدى الصناديق.

2. عدد الاحتمالات لوضع الكرة الثانية:

   • نفس السياق، لكل كرة هناك 3 احتمالات لوضعها.

3. الكرة الثالثة والرابعة:

   • الكرتين الباقيتين أيضًا لديهما 3 احتمالات للوضع في كل منهما.

تطبيق قاعدة الضرب:
عدد الطرق = عدد الاحتمالات لوضع الكرة الأولى * عدد الاحتمالات لوضع الكرة الثانية * عدد الاحتمالات لوضع الكرة الثالثة * عدد الاحتمالات لوضع الكرة الرابعة

عدد الطرق = 3 * 3 * 3 * 3 = 81

إذاً، هناك 81 طريقة ممكنة لوضع الكرات في الصناديق.

تلخيص القوانين:

• استخدمنا مبدأ “الترتيب مع التكرار”.
• قمنا بتطبيق قاعدة الضرب لحساب عدد الطرق.

هذه القوانين والمفاهيم تمثل الأساس في حل مشكلات الكميات والتجميعات، وهي أدوات قوية يمكن استخدامها في مجموعة واسعة من المسائل الرياضية.