حل مسألة الترتيب الرياضي: تحليل وتطبيقات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

في كم طريقة يمكننا ترتيب الأعداد الصحيحة الإيجابية $(m، n)$ بحيث يكون مجموع عكسيهما هو $\frac{1}{4}$؟

الحل:

لحل هذه المسألة، دعونا نبدأ بتكوين المعادلة التي تمثل الشرط المعطى. نعلم أن مجموع عكسين الأعداد هو $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{4}$. لنقم بتوحيد المعاملات عن طريق ضرب كل جانب في 4m و4n للتخلص من المقامات:

$4n + 4m = mn$

الآن، لنرتب هذه المعادلة بشكل مناسب:

$mn – 4n – 4m = 0$

لنقم بتطبيق تقنية التكامل الجزئي لتسهيل حلا المعادلة. نلاحظ أن الجزء الأيمن للمعادلة يمكن كتابته على النحو التالي:

$mn – 4n – 4m + 16 – 16 = 16$

الآن، نلاحظ أنه يمكننا كتابة الجزء الأيسر على النحو التالي:

$(m-4)(n-4) = 16$

الآن، لنحسب جميع الأزواج الممكنة من $(m، n)$ التي تحقق الشرط. نعلم أن 16 يمكن تقسيمها إلى الأزواج التالية: $(1,16)، (2,8)، (4,4)، (8,2)، (16,1)$. ولكننا نريد أزواج فقط حيث يكون الفرق بينهما هو 4 (بسبب $(m-4)$ و$(n-4)$ في المعادلة):

$(5,20), (6,12), (8,8), (12,6), (20,5)$

لكن يجب أن نتذكر أننا نبحث عن ترتيبات مختلفة، لذلك يجب علينا أن نعد الزوجين بترتيباتهما المختلفة. لنفكر في ذلك:

$(5,20) \Rightarrow (5,20)، (20,5)$
$(6,12) \Rightarrow (6,12)، (12,6)$
$(8,8) \Rightarrow (8,8)$

إذا كان لدينا ثلاث ترتيبات فقط. إجمالاً، هناك ثلاث طرق لترتيب الأعداد الإيجابية $(m، n)$ بحيث يكون مجموع عكسيهما هو $\frac{1}{4}$.

لحل هذه المسألة، بدأنا بتكوين المعادلة الرياضية التي تعبر عن الشرط المطلوب، وهي أن مجموع عكسي الأعداد يساوي $\frac{1}{4}$. كتبنا المعادلة في الشكل التالي:

$mn – 4n – 4m + 16 = 16$

ثم استخدمنا تقنية التكامل الجزئي لتسهيل حلا المعادلة. قمنا بتجميع بعض المصطلحات وكتبنا المعادلة على النحو التالي:

$(m-4)(n-4) = 16$

هنا، استخدمنا قانون التوزيع لتحليل المعادلة إلى عاملين. ومن ثم، استخدمنا الملاحظة البسيطة التي قدمتها المعادلة لتبسيط الحسابات.

بعد ذلك، قمنا بتفحص جميع الأزواج الممكنة التي يمكن أن تحقق المعادلة. وجدنا أن الأزواج الخمسة هي $(5,20)، (6,12)، (8,8)، (12,6)، (20,5)$.

من هنا، نريد فقط الأزواج التي يكون فرق الأعداد بينها هو 4، وهو الجزء المسؤول عن $(m-4)$ و$(n-4)$ في المعادلة. لذلك، استخدمنا هذا المرشح لاستبعاد بعض الأزواج والحصول على الأزواج المناسبة.

أخيرًا، لحساب عدد الطرق المختلفة لترتيب الأزواج، قمنا بتفحص كل زوج وتسجيل الطرق الممكنة لترتيب الأعداد في كل زوج. هذا يتطلب التفكير في كيفية ترتيب الأعداد في كل زوج، مع مراعاة أننا نبحث عن ترتيبات مختلفة.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون التوزيع: يتيح لنا قسمة العبارات وتكاملها بشكل فعال.

2. تقنية التكامل الجزئي: تُستخدم لتبسيط المعادلات وتحسين فهم الهيكل.

3. التفكير التحليلي: يتيح لنا فحص الحلول الممكنة وتحديد الأزواج الملائمة.

4. العمل بالأعداد الصحيحة: نظرًا لطبيعة المسألة، تمثل الأعداد الصحيحة الحلول الممكنة.

5. الترتيب والتنظيم: يساعد في حساب عدد الطرق المختلفة لترتيب الأعداد.

هذه القوانين والتقنيات تجمعت لتمكيننا من فهم وحل المسألة بشكل شامل ودقيق.