حل مسألة الترتيبات الهندسية (مسألة رياضيات)

لنقوم بإعادة صياغة المسألة الرياضية باللغة العربية:

مات سيقوم بترتيب أربع قطع دومينو متطابقة (مستطيلات مظللة بمقاس 1 في 2) على الشبكة 5 في X كما هو موضح أدناه بحيث يتم تشكيل مسار من الزاوية اليسرى العلوية $A$ إلى الزاوية اليمنى السفلى $B$. في المسار، يجب أن تلامس القطع المتتالية من الدومينو بعضها البعض عند جوانبها وليس فقط في زواياها. لا يمكن وضع أي قطعة دومينو بشكل قطري؛ حيث تغطي كل قطعة دومينو بالضبط مربعين من المربعات الموجودة على الشبكة. تمثيل واحد موضح أدناه. كم عدد الترتيبات الممكنة المتميزة، بما في ذلك تلك الموضحة؟

الآن، دعونا نقوم بحساب القيمة المجهولة للمتغير X.

حل المسألة:
للوصول من النقطة A إلى النقطة B، يجب أن نمر بالأعمدة الخمسة في الشبكة والتي تمثل الخطوات الأفقية، كما يجب أن نمر بأربع قطع دومينو للقيام بالخطوات الرأسية.

بما أننا نعرف أن عدد الترتيبات الممكنة هو 35، فلنقم بحساب عدد الطرق التي يمكننا بها وضع الدومينو بحيث نتبع الشروط الموضحة.

لنفترض أن العدد الأفقي للخانات هو X. بما أن الدومينو تغطي مساحة 2×1، فإن عدد الأعمدة الأفقية يجب أن يكون X-1 لنصل من A إلى B.

العدد الكلي للخطوات هو 5 (الخطوات الأفقية) + 4 (الخطوات الرأسية) = 9.

نحتاج إلى اختيار 4 عمود من بين X-1 عمود، وهذا يعادل ${X-1 \choose 4}$.

لكن هذا العدد ليس بالضبط الإجابة الصحيحة، لأنه يحتوي على بعض الحالات التي لا تتوافق مع الشروط المحددة في المسألة.

حيث إن الحالات التي تحدث هي:

1. عندما يكون أحد العمودين المحيطين بـ X غير محيطة بدومينو.
2. عندما يكون أحد العمودين الداخلين في X محيطة بدومينو.

لذا يجب أن نخصم هذه الحالات من الإجابة.

الحالة الأولى: يوجد 2 طرق لوضع الدومينو على العمودين المحيطين.
الحالة الثانية: يوجد (X-3) طرق لوضع الدومينو على العمودين الداخلين.

لذا، عدد الطرق الإجمالي الممكنة لترتيب الدومينو هو: ${X-1 \choose 4} – 2(X-3)$.

وحسب الشرط في المسألة، يجب أن يكون هذا العدد مساويًا لـ 35.

إذاً، يجب حل المعادلة التالية لإيجاد قيمة X:

${X-1 \choose 4} – 2(X-3) = 35$

بعد حل المعادلة، سنجد قيمة متغير X.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية، بما في ذلك قوانين الاحتمالات والتنسيق الهندسي.

1. قوانين الاحتمالات:
   في هذه المسألة، نقوم بتطبيق فكرة الاحتمالات لتحديد عدد الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها وضع الدومينو على الشبكة المعطاة.

2. التنسيق الهندسي:
   نستخدم مفهوم التنسيق الهندسي لفهم كيفية توزيع الدومينو على الشبكة بحيث يتم تشكيل مسار يمكن السير عليه من الزاوية العلوية اليسرى إلى الزاوية السفلية اليمنى.

الخطوات لحل المسألة:

1. تحديد عدد الخطوات:
   نحتاج إلى معرفة عدد الخطوات الإجمالي للوصول من النقطة A إلى النقطة B. في هذه المسألة، يوجد 5 خطوات أفقية و 4 خطوات رأسية، مما يجعل إجمالي الخطوات هو 9.

2. تحديد موضع الدومينو على الشبكة:
   نحتاج إلى تحديد كيفية وضع الدومينو على الشبكة بحيث يتم تشكيل مسار من A إلى B.

3. احتساب الترتيبات الممكنة:
   باستخدام قوانين الاحتمالات، نقوم بحساب عدد الترتيبات الممكنة لوضع الدومينو على الشبكة. هذا يتضمن اختيار موضع الدومينو بحيث يلتزم بالشروط المحددة في المسألة.

4. إيجاد قيمة المتغير المجهول X:
   نقوم بحل المعادلة الموضوعة للعثور على قيمة المتغير المجهول X، بالاعتماد على الشروط المعطاة في المسألة والتي يجب أن تتوافق مع عدد الترتيبات الممكنة.

استخدام هذه الخطوات والمفاهيم يساعد في حل المسألة وتحديد القيم المطلوبة، مع مراعاة الشروط والقوانين المعمول بها في المجال الرياضي.