حل مسألة الباقي والمودولوس بالرياضيات

عدد ما عند قسمته على 34 يترك باقيًا قدره 37، فما هو الباقي عند قسم نفس العدد على 9؟

لنقم بحساب ذلك:

لنمثل العدد المطلوب بـ x. إذاً، يمكننا كتابة المعادلة التالية للباقي عند قسم x على 34:

$x \equiv 37 \pmod{34}$

هذا يعني أن هناك عددًا صحيحًا k يمكننا ضربه في 34 وإضافته إلى 37 للحصول على x. يمكن تعبير ذلك عن طريق المعادلة:

$x = 34k + 37$

الآن نحن هنا لنجيب على السؤال: ما هو الباقي عند قسم x على 9؟

لحساب ذلك، نستخدم نفس الفكرة. يجب أن نجد عددًا صحيحًا m بحيث:

$x \equiv m \pmod{9}$

ونستخدم المعادلة الأصلية لـ x:

$x = 34k + 37$

الآن نقوم بتوسيع هذه المعادلة باستخدام قاعدة النظرية العددية حول المودولوس:

$x \equiv 34k + 37 \equiv 7k + 1 \pmod{9}$

الآن، يمكننا تحديد قيمة m بسهولة:

$m = 7k + 1$

إذاً، الباقي عند قسم العدد على 9 هو 7k + 1. ولاستكمال الحل، يمكننا استخدام أي قيمة صحيحة لـ k للعثور على الباقي المحدد.

لنقم بفحص هذه المسألة بتفصيل أكبر ونستخدم القوانين المتعلقة بالعمليات الحسابية والمودولوس في حل المشكلة.

المعطيات:
$x \equiv 37 \pmod{34}$

نريد معرفة قيمة $m$ حيث:
$x \equiv m \pmod{9}$

أولاً، لنقم بتوسيع المعادلة الأصلية للحصول على قيمة $x$ بشكل أكثر تفصيلًا:
$x = 34k + 37$

ثم نقوم بتعويض هذه القيمة في المعادلة المطلوبة:
$x \equiv m \pmod{9}$

$34k + 37 \equiv m \pmod{9}$

الآن، نقوم بتبسيط المعادلة. نلاحظ أن $34k$ يمكن تقسيمها على 9 دون تأثير على الباقي، لأن 9 تقسم 34.

$37 \equiv m \pmod{9}$

الآن نقوم بتجريب القيم الممكنة لـ $m$ بتكرار قيم 37 بمضاعفات 9 (لأن الباقي يتكرر كل 9 وحدة). نجد أن $37 \equiv 1 \pmod{9}$، لأن 37 تتكرر كل 9 وحدات، ونحن نبحث عن الباقي عند قسمها على 9.

لذا، قيمة $m$ هي 1. وبالتالي:
$x \equiv 1 \pmod{9}$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة كونغروانس مع الجمع والطرح:
   إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m}$.

2. ضرب قاعدة كونغروانس:
   إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$، فإن $ac \equiv bc \pmod{m}$.

3. قاعدة كونغروانس للتبسيط:
   إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$، فإنه يمكن استبدال $a$ بـ $b$ في أي معادلة داخلية.

تمثل هذه القوانين أدوات قوية لحل المسائل الرياضية المتعلقة بالمودولوس والباقي.