حل مسألة الباقي والقسمة بالرياضيات (مسألة رياضيات)

المطلوب: ما هو أقل عدد صحيح إيجابي يتم قسمته على 5 ويعطي باقي 4، وعلى 6 ويعطي باقي 5، وعلى 7 ويعطي باقي 6، وعلى 8 ويعطي باقي 7، وعلى 9 ويعطي باقي 8، وعلى 10 ويعطي باقي 9؟

الحل:
لنبدأ بفهم النمط المطلوب. عندما نقول “باقي” في الرياضيات، فإننا نعني العدد الذي يتبقى عند قسمة عدد ما على عدد آخر. فمثلاً، عندما نقول “قسمة على 5 والباقي 4″، نعني أن العدد إذا قسم على 5، سيكون هناك باقي قيمته 4.

الآن، لنبدأ بإيجاد العدد الذي نبحث عنه.
لنفترض أن $x$ هو العدد الذي نبحث عنه. حسب الشروط المعطاة:

1. $x \equiv 4 \pmod{5}$
2. $x \equiv 5 \pmod{6}$
3. $x \equiv 6 \pmod{7}$
4. $x \equiv 7 \pmod{8}$
5. $x \equiv 8 \pmod{9}$
6. $x \equiv 9 \pmod{10}$

لحل هذا النظام من المعادلات الخطية، نستخدم طريقة الاستبقاء. نبدأ بالشرط الأخير ونبحث عن قيمة $x$ التي تنطبق عليه الشرط الخامس.

القسمة على 10 تعني أن آخر رقم في $x$ هو 9، إذا $x = 10k + 9$.

الآن، نتابع نحو الشروط الأخرى:

1. $x \equiv 8 \pmod{9}$ يعني أن باقي قسمة $x$ على 9 هو 8، وهذا يتوافق مع $10k + 9$ لأن 9 يناسب 8 باقيًا عند القسمة على 9.
2. $x \equiv 7 \pmod{8}$ يعني أن باقي قسمة $x$ على 8 هو 7، وهذا يتوافق مع $10k + 9$ لأن 7 يناسب 7 باقيًا عند القسمة على 8.
3. $x \equiv 6 \pmod{7}$ يعني أن باقي قسمة $x$ على 7 هو 6، وهذا يتوافق مع $10k + 9$ لأن 6 يناسب 6 باقيًا عند القسمة على 7.
4. $x \equiv 5 \pmod{6}$ يعني أن باقي قسمة $x$ على 6 هو 5، وهذا يتوافق مع $10k + 9$ لأن 5 يناسب 5 باقيًا عند القسمة على 6.
5. $x \equiv 4 \pmod{5}$ يعني أن باقي قسمة $x$ على 5 هو 4، وهذا يتوافق مع $10k + 9$ لأن 4 يناسب 4 باقيًا عند القسمة على 5.

لذا، نجد أن $x = 10k + 9$ ينطبق على جميع الشروط المعطاة.

الآن، يجب علينا إيجاد أقل قيمة لـ $x$ التي تنطبق على هذه الشروط. هذا يحدث عندما تكون قيمة $k$ أقل قدر ممكنة.

للحصول على أقل قيمة لـ $x$، نختار أصغر قيمة ممكنة لـ $k$ وهي 0.

إذاً، $x = 10 \times 0 + 9 = 9$ هو أقل عدد صحيح يستوفي جميع الشروط المطلوبة.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم القسمة والباقي في الحساب ال mod ونعتمد على خوارزمية الاستبقاء (Chinese Remainder Theorem) للعثور على الحل.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون القسمة والباقي: هو قانون يحدد الباقي عند قسمة عدد على عدد آخر.
2. الاستبقاء (Chinese Remainder Theorem): هو نظام من المعادلات الخطية النسبية تستخدم لحل مجموعة من المعادلات التي تشترك فيها القوى الرئيسية، وفي هذه المسألة يتم استخدامه للعثور على العدد الصحيح الذي يتناسب مع شروط الباقي المعطاة.

الخطوات الأساسية لحل المسألة:

1. صياغة المعادلات: نقوم بكتابة مجموعة المعادلات وفقًا للشروط المعطاة في المسألة.
2. حل المعادلات بواسطة الاستبقاء: نستخدم الاستبقاء لحل المعادلات بالترتيب، وذلك بتجزئة المعادلات وحلها جزئيًا.
3. العثور على الحل النهائي: بعد حل جميع المعادلات الفرعية، نجمعها معًا للحصول على الحل النهائي للمسألة.

الآن دعونا نقوم بتفصيل هذه الخطوات لحل المسألة:

1. صياغة المعادلات:
   الشروط المعطاة في المسألة هي:

   • $x \equiv 4 \pmod{5}$
   • $x \equiv 5 \pmod{6}$
   • $x \equiv 6 \pmod{7}$
   • $x \equiv 7 \pmod{8}$
   • $x \equiv 8 \pmod{9}$
   • $x \equiv 9 \pmod{10}$

2. حل المعادلات بواسطة الاستبقاء:
   لحل هذه المعادلات باستخدام الاستبقاء، نبدأ بالمعادلة الأخيرة ونتابع للخلف.

   • المعادلة السادسة: $x \equiv 9 \pmod{10}$
     يعني أن العدد ينتهي بالرقم 9.

   • المعادلة الخامسة: $x \equiv 8 \pmod{9}$
     يعني أن العدد ينتهي بالرقم 8 أو 17 أو 26 وهكذا.

   • المعادلة الرابعة: $x \equiv 7 \pmod{8}$
     يعني أن العدد ينتهي بالرقم 7 أو 15 أو 23 وهكذا.

   • المعادلة الثالثة: $x \equiv 6 \pmod{7}$
     يعني أن العدد ينتهي بالرقم 6 أو 13 أو 20 وهكذا.

   • المعادلة الثانية: $x \equiv 5 \pmod{6}$
     يعني أن العدد ينتهي بالرقم 5 أو 11 أو 17 وهكذا.

   • المعادلة الأولى: $x \equiv 4 \pmod{5}$
     يعني أن العدد ينتهي بالرقم 4 أو 9 أو 14 وهكذا.

3. العثور على الحل النهائي:
   الحل النهائي هو العدد الذي يتوافق مع جميع الشروط.
   بالنظر إلى المعادلات الفرعية، نجد أن العدد الذي يلبي جميع الشروط هو العدد الذي ينتهي بالرقم 9.
   لذا، العدد الصحيح الأصغر الذي يتناسب مع جميع الشروط هو 9.

هذا هو الحل النهائي للمسألة، والذي تم الوصول إليه باستخدام قوانين القسمة والباقي والاستبقاء في الرياضيات.