حل مسألة الباقي والأسس. (مسألة رياضيات)

نريد حساب باقي قسمة $19^{1999}$ على عدد مجهول $X$. إذا كان الباقي يساوي 4، فما قيمة المتغير $X$؟

لنقم بتطبيق مبدأ عمليات الباقي في الجبر الmodular:

لحساب الباقي، نقوم بتقسيم $19^{1999}$ على $X$، ونترك الباقي. لكن قبل ذلك، نستخدم خاصية التقاطع بين الأسس لتبسيط العملية. إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإنه يمكننا تجميع الأسس والأساسين والتطبيق على القوى بحرية دون تغيير في النتائج.

لنقم بتبسيط التعبير $19^{1999}$ باستخدام هذا المبدأ. نلاحظ أن $19 \equiv -1 \pmod{20}$ (لأن 19 أكبر من 20 بواحد وتبدأ التكرار)، لذا:
$19^{1999} \equiv (-1)^{1999} \pmod{20}$

الآن نحسب القوة. لأن $(-1)^{1999}$ فهو فردي، لذا:
$(-1)^{1999} = -1$

وبالتالي:
$19^{1999} \equiv -1 \pmod{20}$

الآن نحن نبحث عن باقي قسمة $-1$ على $X$، الذي يساوي 4. هذا يعني أننا نبحث عن $X$ الذي يجعل $-1 \equiv 4 \pmod{X}$.

بمعنى آخر، نريد العثور على عدد يبعد 4 وحدات عن $-1$ على العدد $X$.

لحسن الحظ، هناك عدة أرقام قد تعطي هذا النتيجة. فإذا كان $X = 5$، فإن $-1 \equiv 4 \pmod{5}$، وإذا كان $X = 9$، فإن $-1 \equiv 4 \pmod{9}$ وهكذا.

ولكن لنظل دقيقين، سنختار القيمة الصغرى لـ $X$، والتي تكون أكبر من 4. لذا فإن القيمة المناسبة للـ $X$ هي $X = 5$.

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي 5.

لحل المسألة وتحديد القيمة المجهولة $X$ في باقي قسمة $19^{1999}$ على $X$، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم في الجبر وحساب الباقي.

1. خوارزمية قوة الباقي (Modular Exponentiation Algorithm): هذه الخوارزمية تُستخدم لحساب التعبيرات العشوائية الكبيرة في الجبر المتقدم، مثل قوى الأس، بشكل فعال وبسرعة. تستند الخوارزمية إلى مبدأ تحويل الأسس واستخدام الباقي.

2. قانون الأسس (Exponent Law): في الحالة الحالية، استخدمنا خاصية تحويل الأسس لتبسيط التعبير $19^{1999}$ إلى شكل أس أبسط يُمكن حسابه بسهولة.

3. قوانين الباقي (Modular Arithmetic Laws): هذه القوانين تتيح لنا إجراء العمليات الحسابية مع الباقي، وتشمل:

   • قانون جمع الباقي: إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإنه يمكن جمعهما للحصول على $a + c \equiv b + d \pmod{m}$.
   • قانون ضرب الباقي: إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإنه يمكن ضربهما للحصول على $a \times c \equiv b \times d \pmod{m}$.
   • قانون الأس المتعدد: إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$، فإنه يمكن رفع $a$ إلى قوة $k$ للحصول على $a^k \equiv b^k \pmod{m}$.

4. استخدام التكرار في حساب الباقي: قد نحتاج إلى استخدام خوارزمية التكرار (Iterative Algorithm) لحساب الباقي في بعض الأحيان، خاصة عندما تكون الأرقام كبيرة جدًا.

5. البحث عن القيم الممكنة: في الحل، قمنا بالبحث عن الأعداد الممكنة التي تعطي باقيًا محددًا ومطابقًا للشرط المعطى في المسألة.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، قمنا بتبسيط التعبير الأسي $19^{1999}$، ومن ثم حساب الباقي على $X$، وأخيرًا البحث عن القيم الممكنة لـ $X$ التي تجعل الباقي مطابقًا للقيمة المعطاة في المسألة.