حل مسألة الباقي عند القسمة (مسألة رياضيات)

إذا كانت ثلاثة أعداد صحيحة إيجابية تُقسم على التوالي على 47 وتُعطي باقي قسمة يكون لديها قيم 25، 20، و3، فما هو الباقي عند قسم مجموع هذه الأعداد الثلاثة على 47؟

لنحسب الباقي عند جمع هذه الأعداد. الأعداد الثلاثة هي:

العدد الأول الذي يعطي باقي 25 عند القسمة على 47.
العدد الثاني الذي يعطي باقي 20 عند القسمة على 47.
العدد الثالث الذي يعطي باقي 3 عند القسمة على 47.

لنمثل هذه الأعداد بالترتيب بـ a، b، و c. يتم تمثيل الأعداد الثلاثة على النحو التالي:

a ≡ 25 (mod 47)
b ≡ 20 (mod 47)
c ≡ 3 (mod 47)

الآن سنقوم بجمع هذه الأعداد وحساب الباقي:

a + b + c ≡ 25 + 20 + 3 (mod 47)

إذاً:

a + b + c ≡ 48 (mod 47)

لكن يمكننا تبسيط هذا الباقي:

a + b + c ≡ 1 (mod 47)

إذا كان باقي جمع الأعداد الثلاثة عند القسمة على 47 هو 1.

سأقوم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل، مستخدماً بعض القوانين الرياضية المستخدمة في هذا السياق.

الأعداد الثلاثة التي نبحث عن باقي جمعها عند القسمة على 47 هي a، b، و c. يُعبر عن الباقي عند قسم أي عدد على 47 باستخدام الرمز “mod 47”. لذلك، نعطي العلاقات التالية:

1. a ≡ 25 (mod 47)
2. b ≡ 20 (mod 47)
3. c ≡ 3 (mod 47)

لحل هذه المسألة، نبدأ بجمع الأعداد:

$a + b + c \equiv 25 + 20 + 3 \pmod{47}$

$a + b + c \equiv 48 \pmod{47}$

هنا نستخدم قانون جمع الأعداد المتبقية (modular arithmetic)، الذي ينص على أنه إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $a + c \equiv b + d \pmod{m}$.

الآن، نحاول تبسيط الباقي:

$a + b + c \equiv 1 \pmod{47}$

هنا قمنا بتجميع الأعداد وتبسيط الباقي باستخدام قوانين جمع الأعداد المتبقية. يعبر الرمز “≡” عن التعادل في سياق القسمة المتبقية.

في هذا السياق، لم يكن هناك حاجة لاستخدام قوانين معينة إضافية، ولكن استخدمنا أساسيات الجمع وقوانين القسمة المتبقية. يُستخدم هذا النوع من الرياضيات في حل المسائل التي تتعلق بالباقي والقسمة.