حل مسألة الباقي العام بين أعداد مختلفة (مسألة رياضيات)

يجب خصم أقل عدد من العدد 1398 بحيث يكون لدينا باقي واحد عند القسمة على 7 و 9 و 11 في كل حالة.

لنجد هذا العدد، نستخدم العلاقة التالية:

$x \equiv 5 \pmod{7}$
$x \equiv 5 \pmod{9}$
$x \equiv 5 \pmod{11}$

نحتاج إلى حل هذه الأنظمة من المعادلات المتنوعة. للقيام بذلك، يمكننا استخدام طريقة الاجتماع والطرح. نقوم بتكرار العمليات حتى نحصل على قيمة محددة للـ $x$.

لنقم بحسابها:

البداية:
$x \equiv 5 \pmod{7}$
$x \equiv 5 \pmod{9}$
$x \equiv 5 \pmod{11}$

الخطوة الأولى:
$x \equiv 5 \pmod{7}$
$x \equiv 5 \pmod{9}$
$x \equiv 5 \pmod{11}$

الخطوة الثانية:
$x \equiv 5 \pmod{63}$ (ناتج جمع 7 و 9)
$x \equiv 5 \pmod{11}$

الخطوة الثالثة:
$x \equiv 368 \pmod{693}$ (ناتج جمع 63 و 11)

الآن لدينا القيمة المطلوبة لـ $x$ وهي 368. لكن السؤال يطلب منا حساب الفرق بين هذه القيمة وبين 1398.

$1398 – 368 = 1030$

لذا، يجب أن يتم خصم عدد 1030 من العدد 1398 لكي يكون لدينا باقي واحد عند القسمة على 7 و 9 و 11 في كل حالة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدة الاجتماع والطرح لحل نظام من المعادلات التي تعبر عن الباقي عند القسمة. نستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة الاجتماع والطرح (التوحيد):
   إذا كانت:
   $x \equiv a \pmod{m}$
   $x \equiv a \pmod{n}$
   يمكننا دمجهما للحصول على:
   $x \equiv a \pmod{\text{LCM}(m, n)}$

   حيث $\text{LCM}(m, n)$ هي العدد الأصغر الذي يقسم على $m$ و $n$.

2. حساب باقي القسمة:
   لحساب الباقي عند القسمة، نستخدم الرموز $\equiv$ و $\pmod{m}$، حيث يعبر $\equiv$ عن المتطابقة في القيم، و $\pmod{m}$ يشير إلى القسمة على $m$.

الآن لنحل المسألة:

الهدف هو البحث عن $x$ حيث:
$x \equiv 5 \pmod{7}$
$x \equiv 5 \pmod{9}$
$x \equiv 5 \pmod{11}$

نستخدم قاعدة الاجتماع والطرح لدمج المعادلات:
$x \equiv 5 \pmod{\text{LCM}(7, 9, 11)}$

حساب $\text{LCM}(7, 9, 11)$:
$\text{LCM}(7, 9, 11) = 7 \times 3^2 \times 11 = 693$

إذاً:
$x \equiv 5 \pmod{693}$

الآن، نحسب $x$ بزيادة أو طرح مضاعفات $\text{LCM}(7, 9, 11)$ من القيمة المعروفة:
$x \equiv 5 \pmod{693}$
$x \equiv 368 \pmod{693}$

الآن لدينا القيمة المطلوبة لـ $x$ وهي 368. لكن السؤال يطلب منا حساب الفرق بين هذه القيمة وبين 1398:

$1398 – 368 = 1030$

لذا، يجب أن يتم خصم عدد 1030 من العدد 1398 لكي يكون لدينا باقي واحد عند القسمة على 7 و 9 و 11 في كل حالة.