حل مسألة الباقي: أعداد x التي تعطي باقي 1 عند قسم 17 (مسألة رياضيات)

عند قسمة العدد 17 على عدد صحيح إيجابي x، يكون الباقي يساوي 1. كم قيمة ممكنة لـ x تجعل هذه الشروط صحيحة؟

الحل:
لفهم كيفية حساب القيم الممكنة لـ x، يمكننا استخدام المفهوم الرياضي للباقي. عندما نقوم بقسمة 17 على x، يجب أن يكون الباقي هو 1. إذاً، نعبر عن هذه العلاقة بالمعادلة التالية:

$17 \equiv 1 \pmod{x}$

هنا، يعني $\equiv$ “متطابق مع”، و $\pmod{x}$ يشير إلى الباقي عند القسمة على x.

الآن، نحاول إيجاد القيم الممكنة لـ x. قد يكون من المفيد النظر إلى بعض الأمثلة لفهم الأمور بشكل أفضل:

1. عندما $x = 2$، نحصل على $17 \mod 2 = 1$، وهو ما يتفق مع الشرط.
2. عندما $x = 3$، نحصل على $17 \mod 3 = 2$، وليس 1. لذا، $x = 3$ لا ينطبق على الشرط.
3. عندما $x = 5$، نحصل على $17 \mod 5 = 2$، وليس 1. لذا، $x = 5$ لا ينطبق أيضًا.

نلاحظ أن القيم التي تعمل تكون عادة أصغر من 17. لنجرب بعض القيم الأصغر:

4. عندما $x = 16$، نحصل على $17 \mod 16 = 1$، وهو ما يتفق مع الشرط.
5. عندما $x = 15$، نحصل على $17 \mod 15 = 2$، وليس 1.

إذاً، يبدو أن الأعداد التي تعمل هي تلك التي أصغر من 17. لكن هل هناك أي عدد آخر يمكن أن يعمل؟

إذاً، لنحل هذه المعادلة، نحتاج إلى البحث عن جميع الأعداد التي تحقق هذا الشرط. يمكننا أن نبدأ من 2 ونستمر حتى نصل إلى العدد 17 نفسه. يمكننا القول إن هناك $17 – 2 + 1$ قيمة ممكنة لـ x.

إذاً، هناك 16 قيمة ممكنة لـ x.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الباقي والقسمة في الحساب العددي. الهدف هو العثور على جميع الأعداد الصحيحة الممكنة لـ $x$ بحيث يكون باقي قسمة 17 على $x$ يساوي 1.

القوانين المستخدمة:

1. تعريف الباقي:
   عند قسم عدد صحيح على عدد آخر، يكون الباقي هو العدد الذي يتبقى بعد القسمة. يُعبَّر عنه برمز \mod.

2. المعادلة الرياضية:
   نستخدم المعادلة $17 \equiv 1 \pmod{x}$ للتعبير عن الشرط المطلوب، حيث يعبر $\equiv$ عن المتطابقة في حالة الباقي.

3. التجربة والخطأ:
   بتجربة قيم مختلفة لـ $x$، نتحقق مما إذا كانت تلبي الشرط أم لا.

الحل:

نريد أن نجد جميع الأعداد الصحيحة لـ $x$ حيث يكون الباقي عند قسم 17 على $x$ يساوي 1. يمكننا بدء التجربة مع الأعداد الصحيحة الأصغر من 17.

عند $x = 2$، يكون الباقي هو $17 \mod 2 = 1$، وهو ما يتوافق مع الشرط.

نتجرب قيمًا أخرى:

• $x = 3$، يكون الباقي هو $17 \mod 3 = 2$، وهذا لا يتوافق مع الشرط.
• $x = 4$، يكون الباقي هو $17 \mod 4 = 1$، وهذا يتوافق مع الشرط.
• وهكذا نستمر في التجربة.

لنجد القيم الممكنة، نكمل التجربة حتى نصل إلى 17. القيم التي تلبي الشرط هي: 2، 4، 8، و 16.

بالتالي، هناك 4 قيم ممكنة لـ $x$ وهي تلك التي أدت إلى أن يكون الباقي عند قسم 17 عليها هو 1.