حل مسألة الباقيات بالرياضيات

عند قسمة 242 على مقسوم ما، يكون الباقي 15. وعند قسمة 698 على نفس المقسوم، يكون الباقي 27. إذاً، عند قسمة مجموع الرقمين 242 و 698 على نفس المقسوم، يكون الباقي 5. ما هو قيمة هذا المقسوم؟

لنقم بتمثيل هذه المعلومات بمتغيرات:
الرقم الأول = 242
الرقم الثاني = 698
الباقي عند قسم 242 على المقسوم = 15
الباقي عند قسم 698 على المقسوم = 27
الباقي عند قسم مجموع الرقمين على المقسوم = 5

لنعتبر المقسوم الذي نبحث عن قيمته بـ “أ”. لنقم بكتابة المعادلات الرياضية:

معادلة 1: $242 \mod A = 15$
معادلة 2: $698 \mod A = 27$
معادلة 3: $(242 + 698) \mod A = 5$

الآن، لنقم بحل هذه المعادلات:

للمعادلة 1:
$242 \mod A = 15$
$242 – 15 = 227$
$A = 227$

للمعادلة 2:
$698 \mod A = 27$
$698 – 27 = 671$
$A = 671$

للمعادلة 3:
$(242 + 698) \mod A = 5$
$940 \mod A = 5$
$940 – 5 = 935$
$A = 935$

إذاً، القيمة المطلوبة للمقسوم “أ” هي 935.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، وسنستخدم بعض القوانين الحسابية لتسهيل العملية.

للبداية، دعونا نمثل المقسوم الذي نبحث عنه بالحرف “أ”. لدينا البيانات التالية:

$242 \mod A = 15$ (المعادلة 1)
$698 \mod A = 27$ (المعادلة 2)
$(242 + 698) \mod A = 5$ (المعادلة 3)

لحسن الحديث، سنستخدم الرموز التالية: $R_1$ للباقي عند قسم 242 على A، $R_2$ للباقي عند قسم 698 على A، و $R_3$ للباقي عند قسم مجموع الرقمين على A.

الآن، لنقم بحل المعادلات:

للمعادلة 1:
$242 \mod A = 15$
$R_1 = 15$

للمعادلة 2:
$698 \mod A = 27$
$R_2 = 27$

للمعادلة 3:
$(242 + 698) \mod A = 5$
$(940) \mod A = 5$
$R_3 = 5$

الآن، لنستخدم القوانين الحسابية:

1. قانون الجمع: إذا كان لدينا مجموع عددين يقسمان على عدد آخر، فإن الباقي عند قسم المجموع على هذا العدد يكون مجموع الباقين عند قسم الأعداد الفردية على نفس العدد.
   $R_3 = (R_1 + R_2) \mod A$

2. قانون الطرح: إذا كان لدينا فارق بين عددين يقسمان على عدد آخر، فإن الباقي عند قسم الفارق على نفس العدد يكون الفارق في الباقيين عند قسم الأعداد الفردية على نفس العدد.
   $R_3 = (R_1 – R_2) \mod A$

الآن، لنقم بتطبيق هذه القوانين:

$R_3 = (15 + 27) \mod A$
$R_3 = 42 \mod A$

$R_3 = (15 – 27) \mod A$
$R_3 = -12 \mod A$

لكننا نعلم أن الباقي دائمًا يكون إيجابيًا، لذا:
$R_3 = (15 – 27 + A) \mod A$
$R_3 = (A – 12) \mod A$

الآن، نقارن الناتجين ونجد أن:
$42 \mod A = (A – 12) \mod A$

بما أن الباقي هو نفسه في هذه الحالة، فإن القيمة المطلوبة للمقسوم “أ” هي 42.

لختصار القوانين المستخدمة:

1. قانون الجمع في حساب الباقين.
2. قانون الطرح في حساب الباقين.

يرجى ملاحظة أن الحسابات تعتمد على استخدام القوانين الحسابية الأساسية والخوارزميات المتبعة في الرياضيات.