حل مسألة الباقيات الرياضية (مسألة رياضيات)

عند قسمة عدد طبيعي $n$ على 5، يكون الباقي 3. وعند قسمة $n^2$ على 5، يكون الباقي $X$. وعند قسمة $n^3$ على 5، يكون الباقي 2.

لنقم بحساب الأعداد الطبيعية التي تكون باقي قسمتها على 5 يساوي 3: 3, 8, 13, 18, …

لنجرب الأعداد المذكورة:

• لماذا؟ لأن الباقي عندما نرفع 3 في القسمة على 5 هو 3 نفسه.

الآن، لنحسب $n^2$ لهذه الأعداد ونرى ما هي الباقيات التي نحصل عليها:

• $3^2 = 9$، الباقي 4
• $8^2 = 64$، الباقي 4
• $13^2 = 169$، الباقي 4
• $18^2 = 324$، الباقي 4
  …
  نجد أن الباقي عندما نرفع العدد الذي يعطي باقي 3 في القسمة على 5 في القسمة على 5 هو 4.

الآن، نحتاج إلى حساب $n^3$ للأعداد التي يكون باقي قسمتها على 5 يساوي 3:

• $3^3 = 27$، الباقي 2
• $8^3 = 512$، الباقي 2
• $13^3 = 2197$، الباقي 2
• $18^3 = 5832$، الباقي 2
  …
  نجد أن الباقي عندما نرفع العدد الذي يعطي باقي 3 في القسمة على 5 في القسمة على 5 هو 2.

إذاً، الباقي الذي يعطيه $n^2$ عند القسمة على 5 هو 4، والباقي الذي يعطيه $n^3$ عند القسمة على 5 هو 2.

يمكننا استخدام الملاحظة التالية: إذا كانت $n$ تعطي باقي 3 عند القسمة على 5، فإن $n^2$ تعطي باقي 4، و $n^3$ تعطي باقي 2.

بما أن $n$ تعطي باقي 3 عند القسمة على 5، فإن $n^3$ يعطي باقي 2، والذي يتطابق مع الشروط المعطاة في المسألة.

لذلك، القيمة المطلوبة للمتغير الغير معروف $X$ هي 4.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والخصائص الرياضية للأعداد الصحيحة والقسمة.

القوانين والخصائص المستخدمة في الحل:

1. قانون باقي القسمة:
   عند قسمة عدد صحيح على عدد آخر، يكون الباقي هو الفرق بين العدد والناتج من ضرب العدد الثاني في الناتج الكامل للقسمة.
   مثال: إذا كانت $a$ عدد صحيح و $b$ عدد طبيعي، فإن باقي قسمة $a$ على $b$ يكون $a – b \times \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor$.

2. قانون أعداد متتالية:
   إذا كان لدينا أعداد متتالية، فيمكن استخدام النمط العام لتحديد الخصائص المشتركة بينها.

الآن، دعنا نستعرض الحل:

لدينا عدد طبيعي $n$ يعطي باقيًا 3 عند القسمة على 5.

نريد أيضًا معرفة الباقي عند قسمة $n^2$ على 5، والذي نعرفه بـ $X$، والباقي عند قسمة $n^3$ على 5، والذي نعرفه بـ 2.

باستخدام القانون الأول، نقول:

• باقي $n$ عند القسمة على 5 = 3
• باقي $n^2$ عند القسمة على 5 = $X$
• باقي $n^3$ عند القسمة على 5 = 2

من القانون الثالث المعروف أن باقي قسمة عدد صحيح مرفوع للأس على عدد طبيعي يتبع نمطًا متتاليًا.

لدينا:

• $n$ يعطي باقي 3
• $n^2$ يعطي باقي $X$
• $n^3$ يعطي باقي 2

من الملاحظة أنه عند رفع العدد الذي يعطي باقي 3 في القسمة على 5 للأس 2، نحصل على باقي 4.
وعند رفعه للأس 3، نحصل على باقي 2.

إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير الغير معروف $X$ هي 4.

باختصار، استخدمنا القوانين الرياضية المعروفة لحساب الباقي عند قسمة الأعداد على 5، وأيضًا استفدنا من النمط العام لأعداد متتالية لإيجاد الحل.