حل مسألة البارابولا: قمة ومحور التماثل (مسألة رياضيات)

المعادلة التي تمثلها القوسة هي: $y = ax^2 + bx + c$، ونعلم أن القمة تقع في نقطة $(3, 2)$ وأن لديها محور رأسي للتماثل، وتمر عبر النقطة $(1, 0)$. نحتاج إلى حساب قيم $a$ و $b$ و $c$.

المعادلة العامة لمحور التماثل للقوسة الناتجة هي $x = h$، حيث $h$ هو القيمة الأفقية لموضع محور التماثل. في حالتنا، $h = 3$، لأن القمة عند $(3, 2)$، لذا معادلة محور التماثل هي $x = 3$.

للعثور على قيمة $c$، يمكننا استخدام النقطة التي تمر عبرها القوسة، التي هي $(1, 0)$. نضع قيم $x$ و $y$ في المعادلة:

$0 = a(1)^2 + b(1) + c$
$0 = a + b + c$

الآن، لحساب $a$ و $b$، نستفيد من القمة. لكون القمة عند $(3, 2)$، فإن $x = 3$ هو قيمة محور التماثل. لذا يجب أن تكون الانحدارات على الجانبين متساوية، أي:

$a(3)^2 + b(3) + c = a(2)^2 + b(2) + c$
$9a + 3b + c = 4a + 2b + c$
$9a + 3b = 4a + 2b$
$5a = b$

لدينا الآن نظام معادلات من ثلاث معادلات:

1. $0 = a + b + c$
2. $5a = b$
3. $x = 3$ (معادلة محور التماثل)

باستخدام المعادلة 2، نستبدل $b$ بـ $5a$ في المعادلة 1:

$0 = a + 5a + c$
$0 = 6a + c$
$c = -6a$

الآن، بإدخال قيمة $c$ في المعادلة 1:

$0 = a + 5a – 6a$
$0 = 0$

نجد أن هذه المعادلة تصبح دائماً صحيحة، لذا لا يمكننا حساب قيمة محددة لـ $a$ أو $b$ أو $c$. يبدو أن هناك خطأ ما في الحسابات أو المعلومات المقدمة، لذا يجب إعادة النظر في المسألة والتحقق من البيانات المقدمة.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والهندسة الرياضية.

1. مفهوم القوسة الرباعية (البارابولا):
   القوسة الرباعية هي منحنى يتبع معادلة عامة $y = ax^2 + bx + c$ حيث $a$، $b$، و $c$ هي ثوابت، وتمثل شكل القوسة وموضعها على المحورين.

2. القمة ومحور التماثل:

   • القمة هي أعلى أو أدنى نقطة على القوسة وتكون عند نقطة $(h, k)$.
   • محور التماثل هو المحور الذي يقسم القوسة إلى نصفين متماثلين.

3. النقطة على القوسة:
   للعثور على قيم $a$ و $b$ و $c$، يمكننا استخدام النقطة التي تمر عبرها القوسة.

الآن، دعونا نستخدم البيانات المقدمة في المسألة:

• القمة: $(h, k) = (3, 2)$
• النقطة على القوسة: $(1, 0)$

نبدأ بحساب القيمة $c$ باستخدام النقطة على القوسة:
$0 = a(1)^2 + b(1) + c$
$0 = a + b + c$

الآن، لحساب $a$ و $b$، نستفيد من القمة. لكون القمة عند $(3, 2)$، فإن $h = 3$ هو قيمة محور التماثل.

$k = a(3)^2 + b(3) + c$
$2 = 9a + 3b + c$

الآن لدينا نظام معادلات من ثلاث معادلات:

1. $0 = a + b + c$
2. $2 = 9a + 3b + c$
3. $x = 3$ (معادلة محور التماثل)

باستخدام المعادلة 3، نستبدل $c$ بـ $-a – b$ في المعادلة 2:

$2 = 9a + 3b – a – b$
$2 = 8a + 2b$
$1 = 4a + b$

الآن، لدينا نظام معادلات من معادلتين:

1. $0 = a + b – c$
2. $1 = 4a + b$

نستخدم المعادلتين لحل $a$ و $b$:
نحل المعادلات متمثلة بالنظام:

$a = \frac{1}{3}$
$b = \frac{5}{3}$
$c = -\frac{8}{3}$

لذا، قيم $a$ و $b$ و $c$ هي على التوالي $\frac{1}{3}$، $\frac{5}{3}$، و $-\frac{8}{3}$.