حل مسألة البارابولا: المعادلة والخطوات (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد معادلة القطع الناقصة باستخدام المعلومات المعطاة. البارابولا لها محور تماثل يكون موازياً لمحور x ويمر عبر النقطة (1،5). كما أن النقطة البؤرية للبارابولا تكون عند (0،3).

المعادلة العامة للبارابولا على هذا النحو:
$(x-h)^2 = 4p(y-k)$
حيث (h،k) هي موقع رأس البارابولا و p هو مسافة رأس البارابولا إلى البؤرة.

ومن المعطيات المعطاة، نعلم أن البؤرة (0،3)، لذلك (h،k) = (1،0)، ونعلم أيضا أن النقطة (1،5) تقع على البارابولا، لذلك نستخدمها لحساب قيمة p:
$(1-1)^2 = 4p(5-0)$
$0 = 20p$
$p = 0$

الآن، وضعنا القيم في المعادلة العامة للبارابولا:
$(x-1)^2 = 0(y-0)$
$x^2 – 2x + 1 = 0$

المعادلة الناتجة تعبر عن معادلة نقطية للبارابولا ولكنها ليست بالشكل المطلوب. يمكننا إعادة صياغتها على الشكل المطلوب في السؤال. نحصل على:
$x^2 – 2x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 – 2x + 1 + 0y + 0x + 0 = 0$

مقارنة العبارة أعلاه مع الشكل المطلوب، نجد:
$a = 1, b = 0, c = 0, d = -2, e = 0, f = 1$

الآن نجد القاسم المشترك الأكبر بين هذه الأعداد:
$\gcd(|1|, |0|, |0|, |-2|, |0|, |1|) = \gcd(1, 0, 0, 2, 0, 1) = 1$

إذا كان الحل المعطى هو $y^2 – 4x – 6y + 9 = 0$
فالقاسم المشترك الأكبر $X$ هو 1.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والهندسة الرياضية. سنقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل وذكر القوانين المستخدمة في الحل:

1. معادلة البارابولا:
   المعادلة العامة للبارابولا هي $y = ax^2 + bx + c$ حيث $a$، $b$، $c$ هي الثوابت. ولكن في هذه المسألة، نطلب تعبير البارابولا بشكل مختلف. يمكن تعبير البارابولا بمعادلة من الشكل:
   $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$

2. خصائص البارابولا:

   • البارابولا تمر عبر النقطة $(1,5)$، مما يعني أننا يمكن أن نستخدم هذه النقطة لحساب القيم المجهولة في المعادلة.
   • المحور الرئيسي للبارابولا يكون موازيًا للمحور $x$.
   • نقطة التركيز للبارابولا لها $y$ تساوي 3.
   • رأس البارابولا يقع على محور $y$.

3. العلاقة بين البؤرة والمحور الرئيسي:
   يتبين لنا أن البؤرة تقع على المحور الرئيسي. هذا يعني أن تكون البؤرة متماثلة مع النقطة (0, p) حيث $p$ هو مسافة البؤرة من الأصل.

4. المسافة بين النقطة والبؤرة:
   يتم استخدام مفهوم المسافة بين نقطة وبؤرة البارابولا لحساب قيمة $p$ في المعادلة العامة للبارابولا.

5. معادلة البارابولا العامة:
   بعد حساب قيمة $p$، يمكننا استخدام المعلومات المعطاة لوضع المعادلة العامة للبارابولا في الشكل المطلوب.

6. حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD):
   بعد تحديد الثوابت $a$، $b$، $c$، $d$، $e$، $f$، يتم حساب القاسم المشترك الأكبر بينها.

7. تطبيق القوانين الأساسية للجبر:
   نستخدم قوانين الجبر الأساسية مثل طريقة حل المعادلات والمعادلات الثنائية لحل المسألة.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع حل المسألة بدقة وتوجيه دقيق للخطوات اللازمة لحساب الإجابة النهائية.