حل مسألة الاعتدال الرياضي (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة هي $8x + 1 \equiv 5 \pmod{12}$، حيث يُطلب إيجاد الحل $x \equiv a \pmod{m}$، حيث $m$ عدد صحيح موجب يساوي أو يتجاوز القيمة 2 و $a < m$. ما هو قيمة $a + m$؟

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى الترتيب والتبسيط للمعادلة المعطاة. نبدأ بطرح 1 من الجانب الأيمن للمعادلة للحصول على $8x \equiv 4 \pmod{12}$.

الآن، نقوم بتبسيط الجهة اليسرى من المعادلة باستخدام قاعدة القسمة الصحيحة والتطبيق المباشر للعمليات المعمول بها في الحساب الحديث. نقوم بقسمة كل طرف من المعادلة على 4 لتبسيطها، لذا نحصل على $2x \equiv 1 \pmod{3}$.

الآن، نحن بحاجة للعثور على $x$ بحيث يكون متساويًا مع 1 بالنسبة للقسمة المتبقية على 3. هنا، نستخدم طريقة التجريب والخطأ لإيجاد $x$. لنجرب القيم من 0 إلى 2:

• عندما نجرب $x = 0$، نحصل على $2 \times 0 = 0$، وهذا لا يتوافق مع المتطلبات.
• عندما نجرب $x = 1$، نحصل على $2 \times 1 = 2$، وهذا يتوافق مع المتطلبات، لأن 2 متساويًا مع 1 بالنسبة للقسمة المتبقية على 3.
• عندما نجرب $x = 2$، نحصل على $2 \times 2 = 4$، وهذا لا يتوافق مع المتطلبات.

لذا، القيمة المطلوبة لـ $x$ هي $x \equiv 1 \pmod{3}$.

الآن، نحصل على $x \equiv 1 \pmod{3}$، ونلاحظ أن $a = 1$ و $m = 3$. لذا، قيمة $a + m$ هي $1 + 3 = 4$.

إذاً، القيمة النهائية هي $a + m = 4$.

لحل المسألة والوصول إلى $8x + 1 \equiv 5 \pmod{12}$ ومن ثم إلى $2x \equiv 1 \pmod{3}$، نستخدم مجموعة من القوانين والخطوات الرياضية:

1. القانون الأساسي للتحويل بين المتطابقات (Congruence): ينص على أنه إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $a + c \equiv b + d \pmod{m}$ و $a – c \equiv b – d \pmod{m}$.

2. قاعدة القسمة الصحيحة (Division Rule): تقول إنه يمكننا قسم كل طرف من متطابقة على عدد صحيح بدون تغيير الحل.

3. التجريب والخطأ: يستخدم هذا المبدأ لاختبار القيم المختلفة للمتغيرات في المعادلة والتحقق مما إذا كانت تلبي شروط المسألة أم لا.

أولاً، قمنا بطرح 1 من كلا الجانبين للمعادلة $8x + 1 \equiv 5 \pmod{12}$ للحصول على $8x \equiv 4 \pmod{12}$، مستخدمين القانون الأول.

ثانيًا، استخدمنا قاعدة القسمة الصحيحة لتبسيط المتطابقة إلى $2x \equiv 1 \pmod{3}$، حيث قمنا بقسم كلا الجانبين على 4.

ثالثًا، قمنا باستخدام التجريب والخطأ لاختبار القيم المختلفة لـ $x$، حيث وجدنا أن $x = 1$ هو القيمة التي تلبي المتطلبات.

أخيرًا، بعد حل المعادلة الثانية $2x \equiv 1 \pmod{3}$، وجدنا أن $x \equiv 1 \pmod{3}$، ومن ثم حددنا $a = 1$ و $m = 3$، وقمنا بإيجاد قيمة $a + m$ التي تساوي 4.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، تمكنا من حل المسألة والوصول إلى الإجابة بشكل دقيق ومنهجي.