حل مسألة الاحتمالات: قيمة المتغير X (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بوجود ست كرات مرقمة بأرقام 2، 3، 4، X، 6، 7 في قبعة، وكل كرة لها نفس الاحتمالية لتكون مختارة. إذا اختيرت كرة واحدة، فإن الاحتمالية لأن يكون الرقم على الكرة المختارة عددًا أوليًا هو 3/6 أو 1/2.

لحساب قيمة المتغير X، يجب أن نضع في الاعتبار أنه من بين الأرقام المتاحة، هناك ثلاثة أرقام أولية وهي 2، 3، و7. لذا، الكرة المتبقية يجب أن تكون من بين الكرات التي يكون على الأرجح فيها أن تكون غير أولية.

نستخدم المعادلة التالية لحساب الاحتمالية:
$\frac{{\text{عدد الأحداث الملائمة}}}{{\text{إجمالي الأحداث}}} = \frac{{3}}{{6}} = \frac{{1}}{{2}}$

عدد الأحداث الملائمة هو عدد الكرات ذات الأرقام الأولية (2، 3، 7)، والتي يتم اختيار إحداها. عدد الكرات الأولية هو 3.

بالتالي، الكرة المتبقية هي الكرة ذات الرقم X. لكي تكون الاحتمالية 1/2، يجب أن تكون هذه الكرة غير أولية. إذاً، القيمة المفقودة للمتغير X هي الرقم 4.

إذاً، قيمة المتغير X هي 4.

لحل المسألة، نستخدم مفهوم الاحتمالية وقوانين الإحتمالات. القوانين المستخدمة تتضمن:

1. قانون الإحتمالات الكلية: يقول أن إحتمال حدوث حدث ما يتمثل في مجموع إحتمالات حدوث كل النتائج الممكنة لهذا الحدث.

2. قانون الإحتمالات المشروطة: يقول أن الإحتمال لحدث ما بالنسبة لشرط معين هو الإحتمال لحدوث هذا الحدث مشروطًا على حدوث الشرط.

3. قانون الإحتمالات المتكاملة: يستخدم لحساب إحتمالات الحدث الذي يمكن أن يكون متعدد الشروط.

الآن، لنحسب قيمة المتغير المجهول X:

نعرف أن الإحتمالية لاختيار كرة تحمل رقمًا أوليًا هي 3/6 أو 1/2.

إذاً، لأن هناك ثلاث كرات أولية (2، 3، 7) من بين الكرات الست الموجودة، يجب أن تكون الإحتمالية لاختيار كرة تحمل رقمًا غير أوليًا هي أيضًا 3/6 أو 1/2.

باستخدام القانون الأول، نلاحظ أن هذا يعني أن الكرة ذات الرقم المجهول X يجب أن تكون غير أولية.

الآن، نحدد القيمة الممكنة للمتغير X، والتي تجعل الإحتمالات متساوية.

إذاً، القيمة الممكنة للمتغير X هي 4، لأن الرقم 4 غير أولي ويحقق الإحتمالات المطلوبة.

باختيار قيمة X تساوي 4، يصبح لدينا 3 أرقام أولية (2، 3، 7) من بين الكرات الست، وثلاث كرات غير أولية (4، 6، X=4)، مما يجعل الإحتمالات متساوية وتساوي 1/2.

إذاً، قيمة المتغير X هي 4.