حل مسألة الاحتمالات: العثور على قيمة X (مسألة رياضيات)

يوجد نادٍ يضم 10 أعضاء، 5 منهم من الذكور و X من الإناث. يتم اختيار عضوين عشوائيًا. ما هي الاحتمالية بأن يكون كلاهما من الإناث؟

لنحسب القيمة المجهولة X.

لحساب الاحتمالية، نحتاج إلى معرفة عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار فتاتين من بين الفتيات وعدد الطرق التي يمكن فيها اختيار عضوين عشوائيين من بين جميع الأعضاء.

عدد الطرق لاختيار فتاتين من بين الفتيات هو: X * (X – 1) (حيث يختار العضو الأول من بين الفتيات ثم يختار العضو الثاني من بين الفتيات المتبقيات).

عدد الطرق لاختيار عضوين عشوائيين من بين جميع الأعضاء هو: 10 * 9 (حيث يمكن اختيار أي من الأعضاء ال 10 في المرة الأولى ثم اختيار أي من الأعضاء المتبقين ال 9 في المرة الثانية).

إذاً، الاحتمالية هي عدد الطرق لاختيار فتاتين من بين الفتيات مقسوماً على عدد الطرق لاختيار عضوين عشوائيين من بين جميع الأعضاء، أي:

$\frac{X \times (X – 1)}{10 \times 9} = \frac{X \times (X – 1)}{90}$

وهذا يساوي $\frac{2}{9}$ وفقاً للبيانات المعطاة.

إذاً، نحتاج إلى حل المعادلة:

$\frac{X \times (X – 1)}{90} = \frac{2}{9}$

لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في 90 للتخلص من المقام في الجهة اليسرى:

$X \times (X – 1) = \frac{2}{9} \times 90$
$X \times (X – 1) = 20$

الآن نحن نحتاج إلى حل المعادلة التربيعية $X \times (X – 1) = 20$.

المعادلة الناتجة هي $X^2 – X – 20 = 0$.

يمكننا حل هذه المعادلة بواسطة العوامل أو بالمعادلة التالية:

$X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = -1$، و $c = -20$.

$X = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \times 1 \times (-20)}}{2 \times 1}$
$X = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$
$X = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2}$
$X = \frac{1 \pm 9}{2}$

الآن، لأن X لا يمكن أن تكون قيمة سالبة، نختار الجذر الموجب:

$X = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 5.

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالية والقوانين المتعلقة به، بما في ذلك قانون القاعدة الضربية وقانون الاحتمالية المشتركة.

1. قانون القاعدة الضربية:
   هذا القانون ينص على أنه إذا كان هناك عدة حوادث مستقلة تحدث في تسلسل، فإن احتمالية حدوث الحوادث متعددة هي ناتج ضرب الاحتماليات لكل حادث على حدة. في هذه المسألة، نستخدم هذا القانون لحساب احتمالية اختيار عضوين من النادي.

2. قانون الاحتمالية المشتركة:
   ينص هذا القانون على أن احتمالية حدوث حوادث متعددة مستقلة هي ناتج ضرب احتمالية حدوث كل حدث بشكل منفصل. نستخدم هذا القانون لحساب احتمالية اختيار فتاتين من بين الفتيات في النادي.

بدأنا بتحديد عدد الطرق لاختيار فتاتين من بين الفتيات وعدد الطرق لاختيار عضوين عشوائيين من بين جميع الأعضاء، ثم استخدمنا هذه المعلومات لحساب الاحتمالية المطلوبة. القانون الرئيسي الذي استخدمناه هو قانون القاعدة الضربية.

بعد ذلك، قمنا بحل المعادلة للعثور على قيمة X باستخدام الرياضيات الأساسية وقانون حل المعادلات التربيعية. استندنا إلى القوانين الرياضية والتفكير المنطقي لتحديد القيمة المناسبة للمتغير X التي تلبي شروط المسألة.

هذا النهج يظهر كيفية استخدام القوانين الرياضية الأساسية والتفكير المنطقي في حل المسائل الاحتمالية.