حل مسألة الاجتماع بين المجموعات (مسألة رياضيات)

يوجد في مدرسة بومونت الثانوية 12 لاعبًا في فريق البيسبول. يدرس جميع اللاعبين الذين يمثلونهم المادتين العلميتين على الأقل، وعليه فإن 7 لاعبين يدرسون مادة الأحياء، و2 لاعبًا يدرسون كل من الأحياء والكيمياء. إذاً، يدرس 7 لاعبين الكيمياء أيضًا. ما هو قيمة المتغير المجهول X؟

لحل هذه المسألة، دعونا نمثل المعلومات بشكل رمزي. لنقم بتعريف المجموعات التي نتحدث عنها:

• A: عدد اللاعبين الذين يدرسون الأحياء.
• B: عدد اللاعبين الذين يدرسون الكيمياء.
• AB: عدد اللاعبين الذين يدرسون كل من الأحياء والكيمياء.

نعرف أن:
$A = 7$
$AB = 2$
$B = 7$

الآن، يمكننا استخدام القانون الأساسي للاجتماع (قانون الجمع) لحساب إجمالي عدد اللاعبين الذين يدرسون على الأقل إحدى المواد العلمية:
$A \cup B = A + B – AB$

وباستخدام القيم المعطاة:
$X = A \cup B = 7 + 7 – 2 = 12$

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 12.

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم الاجتماع بين المجموعات وبعض القوانين الرياضية المتعلقة بذلك. سنعتمد على ثلاثة مفاهيم رئيسية:

1. قانون الجمع (Principle of Inclusion-Exclusion):
   يُستخدم لحساب إجمالي عدد الأفراد في مجموعتين أو أكثر، مع استبعاد أولئك الذين يتكررون بين المجموعات.

   $A \cup B = A + B – A \cap B$

   في هذه المسألة:

   • $A$: عدد اللاعبين الذين يدرسون الأحياء.
   • $B$: عدد اللاعبين الذين يدرسون الكيمياء.
   • $A \cap B$: عدد اللاعبين الذين يدرسون كل من الأحياء والكيمياء.

2. مفهوم المجموعة المشتركة:
   يُمثله الرمز $A \cap B$، وهو العدد الذي ينتمي إلى كلتا المجموعتين.

3. المجموعة الكلية:
   في هذه المسألة، تمثل المجموعة الكلية اللاعبين في الفريق.

الآن، دعونا نقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

$A \cup B = A + B – A \cap B$

$X = A \cup B = A + B – A \cap B$

وباستخدام القيم المعطاة:
$X = 7 + 7 – 2$

$X = 12$

لذا، قيمة المتغير المجهول X هي 12.