حل مسألة الأنابيب والخزان الرياضي (مسألة رياضيات)

نجد أن الأنبوب A يملأ الخزان في 60 دقيقة والأنبوب B يملأه في 80 دقيقة، أما الأنبوب C الذي يفرغ الخزان، فلنقم بتسميته بـ “C” ونعلم أنه يستغرق “س” دقيقة لفرغ الخزان.

عندما يتم فتح الأنبوبين A و B والأنبوب C في نفس الوقت، يمتلئ الخزان في 40 دقيقة.

لنقم بحساب معدل العمل لكل أنبوب على حدة:

معدل الأنبوب A = 1/60 (خزان/دقيقة)
معدل الأنبوب B = 1/80 (خزان/دقيقة)
معدل الأنبوب C = -1/س (خزان/دقيقة) – سيكون السالب لأنه يفرغ الخزان.

عندما نجمع معدلات الأنبوبين A و B، نحصل على معدل العمل الإجمالي:

معدل العمل الإجمالي = معدل الأنبوب A + معدل الأنبوب B + معدل الأنبوب C
= 1/60 + 1/80 – 1/س

وعندما يكون الخزان ممتلئاً في 40 دقيقة، يكون العمل الإجمالي هو معدل ملء الخزان الكلي:

معدل العمل الإجمالي = 1/40 (خزان/دقيقة)

لذلك، نقوم بحل المعادلة:

1/60 + 1/80 – 1/س = 1/40

نبسط المعادلة لتصبح:

(4/240) + (3/240) – 1/س = 1/40

(7/240) – 1/س = 1/40

1/س = (1/40) – (7/240)

1/س = (6/240)

س = 40/6

س = 20/3

إذا، يستغرق الأنبوب C 20/3 دقيقة لفرغ الخزان وهو الحل للمسألة.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم العمل ومعدلات العمل. سنستخدم القوانين التالية:

1. معدل العمل (Rate of Work): يعبر عن كمية العمل التي يقوم بها أحد الأنابيب أو الأنابيب مجتمعة في وحدة الزمن.

2. قانون العمل المشترك (Combined Work Law): إذا كانت عدة أشياء تقوم بالعمل معًا، فإن معدل العمل الإجمالي يكون مجموع معدلات العمل الفردية.

3. علاقة الزمن والعمل: عند العمل بمعدل ثابت، يمكن استخدام علاقة الزمن والعمل لحساب كمية العمل المنجزة في فترة زمنية معينة.

الآن، لنقم بالتفصيل في الحل:

لنعبر عن معدل العمل لكل أنبوب بالتالي:
$\text{معدل العمل A} = \frac{1}{60} \text{ (خزان/دقيقة)}$
$\text{معدل العمل B} = \frac{1}{80} \text{ (خزان/دقيقة)}$

ونعبر عن معدل العمل للأنبوب C الذي يفرغ الخزان بـ $\frac{1}{س}$ (خزان/دقيقة).

ثم، بموجب قانون العمل المشترك، يكون معدل العمل الإجمالي (عندما تعمل الأنابيب معًا) هو مجموع معدلات العمل الفردية:
$\text{معدل العمل الإجمالي} = \text{معدل العمل A} + \text{معدل العمل B} + \text{معدل العمل C}$
$\text{معدل العمل الإجمالي} = \frac{1}{60} + \frac{1}{80} – \frac{1}{س}$

وبما أن الخزان يمتلئ في 40 دقيقة، يكون معدل العمل الإجمالي يساوي $\frac{1}{40}$ (خزان/دقيقة).

نقوم بحل المعادلة:
$\frac{1}{60} + \frac{1}{80} – \frac{1}{س} = \frac{1}{40}$

نبسط المعادلة ونحسب قيمة $س$، ونحصل على $س = \frac{20}{3}$ دقيقة.

لذلك، يستغرق الأنبوب C وحده 20/3 دقيقة لفرغ الخزان، وهذا هو الحل للمسألة.