حل مسألة الأعداد باستخدام المتوسط والوضع (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لقائمة من خمسة أعداد صحيحة موجبة، لا تتجاوز أي منها الرقم 100، فإن المتوسط يساوي 1.5 مرة الوضع. إذا كانت الأعداد 31، 58، 98، $x$، و $x$، ما قيمة $x$؟

الحل:
لنبدأ بفهم المعطيات المعطاة في المسألة. المتوسط يعني مجموع الأعداد مقسومًا على عددها، بينما الوضع هو العدد الذي يظهر أكثر تكرارًا في القائمة.

نحن نعلم أن المتوسط يساوي 1.5 مرة الوضع. لنقم بتحديد الوضع أولاً. الوضع هو العدد الذي يظهر أكثر تكرارًا في القائمة.

ومن القائمة المعطاة، يظهر العدد 31 مرة واحدة، العدد 58 مرة واحدة، والعدد 98 مرة واحدة أيضًا. ولكن لدينا أيضًا $x$ مرتين.

لذا، الوضع هو 31، 58، و 98.

الآن، المتوسط يساوي 1.5 مرة الوضع. دعونا نحسب المتوسط أولاً.

المتوسط = (31 + 58 + 98 + x + x) / 5

= (187 + 2x) / 5

الآن، نحن نعلم أن المتوسط يساوي 1.5 مرة الوضع، لذا:

(187 + 2x) / 5 = 1.5 * 31

الآن نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $x$.

(187 + 2x) / 5 = 1.5 * 31

187 + 2x = 1.5 * 31 * 5

187 + 2x = 232.5

2x = 232.5 – 187

2x = 45.5

x = 45.5 / 2

x = 22.75

ولكن الأعداد الصحيحة لا يمكن أن تكون كسرية، لذا نحتاج إلى تجاهل هذا الحل.

لكن بما أن $x$ يجب أن يكون عدد صحيح وليس كسري، فلا يمكن أن يكون $x = 22.75$.

التصحيح الوحيد هو أن نجعل $x$ يساوي الفارغة بحيث يكون العدد الوحيد الذي يمكن أن يتكرر مرتين هو $x = 98$.

إذاً، قيمة $x$ هي 98.

لحل المسألة بشكل أكثر تفصيلًا، نحتاج أولاً إلى فهم القوانين الرياضية المستخدمة والتي تشمل مفاهيم المتوسط والوضع.

1. المتوسط (Mean):
   المتوسط هو مجموع مجموعة من الأعداد مقسوماً على عددها. يمكن حساب المتوسط بالصيغة التالية:
   $\text{Mean} = \frac{\text{Sum of all numbers}}{\text{Number of numbers}}$

2. الوضع (Mode):
   الوضع هو العدد الذي يظهر الأكثر تكرارًا في مجموعة الأعداد.

3. العلاقة بين المتوسط والوضع:
   في هذه المسألة، نُعطى أن المتوسط يساوي 1.5 مرة الوضع. هذا يعني أن مجموع الأعداد مقسومًا على عددها يساوي 1.5 مضاعف للعدد الذي يظهر الأكثر تكرارًا.

الآن، لنقوم بتطبيق هذه القوانين على المعطيات المعطاة في المسألة:

نعرف من المسألة أن الأعداد الخمسة هي: 31، 58، 98، $x$، و $x$.

نبدأ بحساب المتوسط، حيث يُعطى بأنه 1.5 مرة الوضع:
$\text{Mean} = 1.5 \times \text{Mode}$

نقوم بتحديد الوضع، الذي هو العدد الذي يظهر الأكثر تكرارًا في القائمة. في هذه الحالة، الأعداد 31، 58، و 98 يظهرون مرة واحدة، بينما $x$ يظهر مرتين.

لذا، الوضع هو 31، 58، و 98.

الآن، يجب علينا حساب المتوسط:
$\text{Mean} = \frac{31 + 58 + 98 + x + x}{5}$

ونعرف أن:
$\text{Mean} = 1.5 \times 31$

نقوم بحساب قيمة المتوسط ونضعها تحت الاعتبار. من خلال حساب المتوسط، نحصل على معادلة تحتوي على مجهول واحد (العدد $x$).

بعد حساب المتوسط، نحل المعادلة للعثور على قيمة $x$.

بعد حل المعادلة، يجب التحقق مما إذا كانت القيمة التي تم العثور عليها لـ $x$ منطقية وتتناسب مع المتطلبات، كما حدث في هذه المسألة.

بهذا، يتم إيجاد قيمة $x$ الصحيحة التي تتناسب مع المسألة والتي تكمل قائمة الأعداد بشرط أن تكون الأعداد الخمسة بين 1 و 100، وهي 98 في هذه الحالة.