حل مسألة الأعداد بأساس مختلف (مسألة رياضيات)

قيمة القاعدة الإيجابية $b$ هي المطلوبة إذا كان العدد في النظام السداسي $53_{6}$ مكافئ للعدد في النظام $b$ هو $113_{b}$.

لنقم بتحويل الأعداد إلى النظام العشري لنفهم المسألة بشكل أفضل:

العدد $53_{6}$ في النظام العشري يتم تحويله كما يلي:

$5 \times 6^{1} + 3 \times 6^{0} = 5 \times 6 + 3 \times 1 = 30 + 3 = 33$

العدد $113_{b}$ في النظام العشري يتم تحويله أيضًا كما يلي:

$1 \times b^{2} + 1 \times b^{1} + 3 \times b^{0} = b^{2} + b + 3$

الآن، نحتاج إلى مطابقة القيم بينهما، لذا نحصل على المعادلة:

$33 = b^{2} + b + 3$

لحل هذه المعادلة، نحتاج إلى جعل الجزء الأيمن منها يساوي 33، لذا نحصل على:

$b^{2} + b + 3 = 33$

$b^{2} + b – 30 = 0$

الآن نحتاج إلى حساب قيمة $b$ باستخدام العلاقة التالية:

$b = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^{2} – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث $a = 1$، $b = 1$، و $c = -30$.

بعد حساب القيم، نحصل على:

$b = \frac{{-1 \pm \sqrt{{1^{2} – 4 \times 1 \times -30}}}}{{2 \times 1}}$

$b = \frac{{-1 \pm \sqrt{{1 + 120}}}}{{2}}$

$b = \frac{{-1 \pm \sqrt{{121}}}}{{2}}$

$b = \frac{{-1 \pm 11}}{{2}}$

بالتالي، نحصل على اثنتين من الحلول المحتملة:

$b_{1} = \frac{{-1 + 11}}{{2}} = \frac{{10}}{{2}} = 5$
$b_{2} = \frac{{-1 – 11}}{{2}} = \frac{{-12}}{{2}} = -6$

ومن المعروف أن القاعدة لا يمكن أن تكون سالبة، لذا فإن القاعدة الإيجابية الوحيدة الممكنة هي $b = 5$.

لحل المسألة واستنتاج قيمة القاعدة الإيجابية $b$، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. تحويل الأعداد إلى النظام العشري: نقوم بتحويل العدد $53_{6}$ إلى النظام العشري لنحصل على قيمته في هذا النظام، كما قمنا بالتفصيل في الإجابة السابقة.

2. تحديد تمثيل العدد في النظام الآخر: بعد ذلك، نحتاج إلى تمثيل العدد $113_{b}$ في النظام العشري باستخدام القاعدة $b$.

3. إنشاء المعادلة: بعد ذلك، نقوم بإنشاء المعادلة التي تعبر عن التمثيل العشري للعدد في النظامين المختلفين.

4. حل المعادلة: نقوم بحل المعادلة للعثور على القيمة المناسبة للقاعدة $b$ التي تجعل المعادلة صحيحة.

5. التحقق من الحل: نتأكد من أن القيمة التي حصلنا عليها للقاعدة تلبي الشروط المطلوبة ولا تتعارض مع القوانين الرياضية.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. تحويل النظم: لتحويل الأعداد من نظام إلى آخر.
2. معادلة التمثيل العشري: تمثيل الأعداد في النظام العشري بواسطة القوانين المتعارف عليها للأساسات.
3. حل المعادلات الرياضية: استخدام القوانين الجبرية والحسابية لحل المعادلات والتعبيرات الرياضية.
4. قوانين الجذور والأسس: لحساب القيم المناسبة للقاعدة $b$ من خلال استخدام الجذور التربيعية والعمليات الحسابية ذات الصلة.

باستخدام هذه القوانين والخطوات المذكورة، يتسنى لنا حل المسألة والعثور على قيمة القاعدة $b$ بطريقة منطقية ودقيقة.