حل مسألة الأعداد المكعبة المتتالية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لنعتبر المعادلة $w^3 + x^3 + y^3 = z^3$ حيث $w^3$، $x^3$، $y^3$، و$z^3$ هي أعداد صحيحة مكعبة متتالية ومتميزة، وذلك بترتيب تصاعدي. يطلب منا إيجاد أصغر قيمة ممكنة للمتغير $z$.

الحل:
لنبدأ بتحليل المعادلة والبحث عن العلاقات بين الأعداد. نظرًا لأن $w^3$، $x^3$، و$y^3$ هي أعداد مكعبة متتالية، يمكننا التعبير عنها على النحو التالي:

$w^3 = a^3, \quad x^3 = (a+1)^3, \quad y^3 = (a+2)^3$

حيث $a$ هو عدد صحيح. الآن نقوم بتعويض هذه القيم في المعادلة الأصلية:

$a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = z^3$

نقوم بتوسيع المعادلة وتبسيطها:

$a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = a^3 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) = 3a^3 + 10a^2 + 16a + 9 = z^3$

الآن، نلاحظ أن الجزء الأيمن من المعادلة هو مكعب لعدد صحيح، لذا يجب أن يكون $3a^3 + 10a^2 + 16a + 9$ هو مكعب لعدد آخر. ولكي نحقق ذلك، نقوم بتجربة القيم المختلفة لـ $a$.

بعد بعض التجارب، نجد أن عند تعيين $a = 1$، يتحقق الشرط:

$3(1)^3 + 10(1)^2 + 16(1) + 9 = 3 + 10 + 16 + 9 = 38 = 2^3$

إذاً، أصغر قيمة ممكنة للمتغير $z$ هي $2$.

بالتالي، القيم المناسبة هي:
$w = 1, \quad x = 2, \quad y = 3, \quad z = 2$

لحل هذه المسألة، بدأنا بفرض أن $w^3$، $x^3$، $y^3$ هي أعداد صحيحة مكعبة متتالية ومتميزة، وذلك بترتيب تصاعدي، وعبرنا عنها بالتالي:

$w^3 = a^3, \quad x^3 = (a+1)^3, \quad y^3 = (a+2)^3$

حيث $a$ هو عدد صحيح. بعد ذلك، قمنا بتعويض هذه القيم في المعادلة الأصلية:

$a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = z^3$

ثم قمنا بتوسيع المعادلة وتبسيطها:

$3a^3 + 10a^2 + 16a + 9 = z^3$

ومن ثم فحصنا الشرط للعثور على قيمة مناسبة لـ $a$ تجعل الجزء الأيمن من المعادلة مكعبًا لعدد صحيح. وجدنا أن عند تعيين $a = 1$، تحقق هذا الشرط.

القوانين والخطوات المستخدمة في الحل:

1. تعبير عن الأعداد بواسطة مكعبات:
   قمنا بتعبير الأعداد $w^3$، $x^3$، $y^3$ بواسطة مكعبات عدد صحيح $a$.

2. تبسيط المعادلة:
   بعد التعبير عن الأعداد، قمنا بتوسيع المعادلة وتبسيطها للحصول على معادلة بسيطة.

3. التجربة والبحث عن الحل:
   قمنا بتجربة قيم مختلفة لـ $a$ وفحص الشرط للعثور على قيمة مناسبة تجعل الجزء الأيمن مكعبًا لعدد صحيح.

4. العثور على القيمة المناسبة:
   بعد التجارب، وجدنا أن $a = 1$ يحقق الشرط، وبالتالي تم العثور على قيمة مناسبة لـ $a$.

5. الإجابة:
   أخيرًا، قمنا بتعيين القيم المناسبة للأعداد $w$، $x$، $y$، و $z$ وهي:
   $w = 1, \quad x = 2, \quad y = 3, \quad z = 2$

تم استخدام المنطق والجبر في هذا الحل، حيث قمنا بتحليل العلاقات بين الأعداد واستنتاج القيم المناسبة بناءً على الشروط المطلوبة.