حل مسألة الأعداد المقلوبة

يُطلب منا إيجاد عدد الأعداد الصحيحة $k$ التي تكون أكبر من 100 وأقل من 700، بحيث يكون إذا تم عكس أرقام المئات والوحدات في $k$ يتم الحصول على عدد يساوي $k + 99$.

لحل هذه المسألة، دعونا نفترض أن عدد $k$ هو $ABC$ حيث $A$ هو رقم المئات، $B$ هو رقم العشرات، و $C$ هو رقم الوحدات. وبما أننا نتحدث عن عدد صحيح، يجب أن يكون $A$ و $C$ و $B$ هي أرقام صحيحة.

العدد الصحيح $k$ هو $100A + 10B + C$. إذاً، عندما نقوم بعكس أرقام المئات والوحدات، نحصل على العدد $100C + 10B + A$. ووفقًا لشرط المسألة، يجب أن يكون:

$100C + 10B + A = k + 99$

الآن، لنحسب الفرق بين العددين $k$ و $100C + 10B + A$:

$(100A + 10B + C) – (100C + 10B + A) = 99$

بتبسيط الفرق، نحصل على:

$99A – 99C = 99$

بقسمة كل طرف على 99، نجد أن:

$A – C = 1$

إذاً، يجب أن يكون هناك فرق وحدة بين رقم المئات ورقم الوحدات. الآن، لنلقي نظرة على القيود الإضافية للأرقام:

1. $A$ يمكن أن يتراوح بين 1 و 6 لأنه يجب أن يكون أكبر من 100 وأقل من 700.
2. $B$ و $C$ يمكن أن يتراوحوا بين 0 و 9 لأنهم يمثلون أرقام العشرات والوحدات.

الآن، لنجرب كل حالة:

1. إذا كان $A = 1$، فإن $C = 0$ (لأن $A – C = 1$).
2. إذا كان $A = 2$، فإن $C = 1$.
3. إذا كان $A = 3$، فإن $C = 2$.
4. إذا كان $A = 4$، فإن $C = 3$.
5. إذا كان $A = 5$، فإن $C = 4$.
6. إذا كان $A = 6$، فإن $C = 5$.

بما أننا توصلنا إلى حالات ممكنة لقيم $A$ و $C$، يمكننا الآن بناء الأعداد الصحيحة $k$ باستخدام القيم المحددة لـ $A$ و $C$ وتحديدها في الصيغة $100A + 10B + C$.

بهذه الطريقة، يمكننا الوصول إلى الأعداد التي تلبي شرط المسألة.

لحل هذه المسألة، دعونا نستعرض القوانين المستخدمة ونقدم تفاصيل إضافية:

1. تمثيل العدد $k$: نمثل العدد $k$ على شكل $ABC$ حيث $A$ هو رقم المئات، $B$ هو رقم العشرات، و $C$ هو رقم الوحدات.

2. تمثيل العدد المقلوب: عند عكس أرقام المئات والوحدات، نحصل على العدد $100C + 10B + A$.

3. شرط المسألة: يجب أن يكون العدد الناتج عن عكس الأرقام مساويًا لـ $k + 99$، أي $100C + 10B + A = k + 99$.

4. الفرق بين العددين: نقوم بحساب الفرق بين العددين $k$ و $100C + 10B + A$، ونجد أن الفرق يكون 99.

5. العلاقة بين $A$ و $C$: نلاحظ أن العلاقة بين $A$ و $C$ هي $A – C = 1$.

6. القيود على قيم $A$ و $C$: $A$ يمكن أن يكون بين 1 و 6، وذلك لأننا نتحدث عن أعداد أكبر من 100 وأقل من 700.

7. تحديد القيم الممكنة لـ $A$ و $C$: نقوم بتجريب قيم مختلفة لـ $A$ ونحسب القيم المقابلة لـ $C$ بناءً على العلاقة $A – C = 1$.

8. بناء الأعداد $k$: بعد تحديد القيم الممكنة لـ $A$ و $C$، نقوم ببناء الأعداد $k$ باستخدام الصيغة $100A + 10B + C$.

9. التحقق من الشرط: نتأكد أن العدد الناتج عن عكس الأرقام هو بالفعل مساوي لـ $k + 99$ للتحقق من صحة الإجابة.

تمثيل العدد وفهم القوانين المستخدمة يساعد في فهم كيفية حل المسألة بشكل أفضل. يتمثل الحل في تحليل الشروط واستنتاج القيم الممكنة للأرقام، ثم بناء الأعداد والتحقق من أنها تلبي الشروط المطلوبة.