حل مسألة: الأعداد المركبة والهندسة الفراغية (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة باللغة العربية:

لنكن $z$ و$w$ عددين مركبين حيث $|z| = 1$ و$|w| = 3$. إذا كان $|z+w| = X$، فما قيمة التالي:
$\left | \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \right|$

لنقم بحل المسألة:

لدينا $|z| = 1$ و$|w| = 3$. بما أن $|z|$ يمثل القيمة المطلقة لعدد مركب $z$، فإنه يعني أن $z$ يقع على دائرة الوحدة في المستوى العقدي. وبنفس الطريقة، $|w| = 3$ يعني أن $w$ يقع على دائرة نصف قطرها 3 ومركزها النقطة الأصلية.

الآن، نريد حساب $|z+w| = X$. لحساب هذا، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس، حيث نتعامل مع $z$ و$w$ كنقاط في المستوى العقدي. يمكننا تصور $z$ و$w$ كمتجهات من الأصل.

بما أن $|z| = 1$، فإن $z$ يكون على الدائرة ولنفترض أن زاوية الدوران لـ $z$ بالنسبة للمحور السيني إيجابية تساوي $\theta_z$.

بنفس الطريقة، لنفترض أن زاوية الدوران لـ $w$ بالنسبة للمحور السيني إيجابية تساوي $\theta_w$.

الآن، نستخدم التحليل الهندسي لتحديد مكان $z+w$ في المستوى العقدي. بما أننا نريد حساب $|z+w| = X$، فإننا نستخدم المثلثية لتحديد $X$.

لكن قبل ذلك، نحتاج إلى حساب $z+w$. بما أن $z$ و$w$ متحركان في دوائرهما، يمكننا تصوّرهما كمتجهات على المستوى العقدي.

الآن نحتاج إلى حساب $\frac{1}{z}$ و$\frac{1}{w}$. إذا كان $z = re^{i\theta_z}$، فإن $\frac{1}{z} = \frac{1}{r}e^{-i\theta_z}$. بنفس الطريقة، إذا كان $w = Re^{i\theta_w}$، فإن $\frac{1}{w} = \frac{1}{R}e^{-i\theta_w}$.

الآن نحتاج إلى حساب $\frac{1}{z} + \frac{1}{w}$، وهذا يساوي:
$\frac{1}{z} + \frac{1}{w} = \frac{1}{r}e^{-i\theta_z} + \frac{1}{R}e^{-i\theta_w}$

الآن، نحتاج إلى حساب قيمة هذا الناتج بشكل مطلق. قد يكون هناك بعض الحسابات الجبرية ولكن نترك ذلك لاحقًا.

الآن للحصول على قيمة $|z+w| = X$، نحتاج إلى تطبيق نظرية فيثاغورس:

$X = |z + w| = |\frac{1}{z} + \frac{1}{w}|$

الآن إذا كانت الإجابة على السؤال الأصلي هي $\frac{2}{3}$، فإنه من المعروف أن:

$X = \frac{2}{3}$

وبهذا نكون قد حسّنا القيمة المطلوبة لـ $X$ في المسألة.

لحل المسألة المذكورة، سنقوم بتطبيق بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والهندسة الفراغية. سنستخدم القوانين التالية:

1. صيغة فيثاغورس: في الهندسة الفراغية، إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام صيغة فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث. لمثلث قائم الزاوية، فإن مربع طول الضلع الأطول (الوتر) يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين.

2. القواعد الجبرية للأعداد المركبة: نحتاج إلى فهم كيفية تعبير الأعداد المركبة في شكلها القطبي، حيث تُعبر الأعداد المركبة عن طريق المسافة (المقدار) والزاوية.

3. خصائص القيم المطلقة: في الأعداد المركبة، تُعبر القيمة المطلقة عن المسافة بين نقطة في المستوى والأصل.

الآن، دعونا نبدأ في حل المسألة:

1. لدينا $|z| = 1$ و$|w| = 3$. هذا يعني أن $z$ يقع على دائرة الوحدة و$w$ يقع على دائرة نصف قطرها 3 ومركزها النقطة الأصلية.

2. نريد حساب $|z+w| = X$. هنا نستخدم القاعدة الهندسية للمثلثات، والتي تقول إن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين. إذاً:
   $|z + w|^2 = |z|^2 + |w|^2$
   $|z + w|^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$

3. الآن نحصل على قيمة $|z + w| = X$ عن طريق استخراج الجذر التربيعي:
   $X = \sqrt{10}$

4. الآن نحن نعلم أن:
   $\left| \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \right| = \frac{2}{3}$

5. نحن نعلم أيضًا أن:
   $\frac{1}{z} + \frac{1}{w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}$

6. يمكننا الآن حساب قيمة $| \frac{1}{z} + \frac{1}{w} |$ باستخدام القواعد الجبرية للأعداد المركبة وخصائص القيم المطلقة.

باختصار، في هذا الحل، قمنا باستخدام مفاهيم الجبر والهندسة الفراغية لحل المسألة، بما في ذلك صيغة فيثاغورس وخصائص الأعداد المركبة والقيم المطلقة.