حل مسألة الأعداد المتتالية (مسألة رياضيات)

المسألة تطلب منا أن نجد الرقم المكون من ثلاثة أرقام الذي تم كتابته في نهاية القائمة التي بدأ في كتابتها ألبرت. بدأ ألبرت بكتابة الأعداد الصحيحة الموجبة التي تبدأ بالرقم X، حيث بدأ بكتابة الأعداد كالتالي: $1, 10, 11, 12, \ldots$ واستمر بالكتابة حتى وصل إلى الرقم الألفي. الرقم المطلوب هو الرقم المكون من الأرقام الثلاثة الأخيرة التي كتبها ألبرت.

لنحسب أولاً عدد الأرقام التي كتبها ألبرت قبل أن يدرك أن القائمة ستكون لا نهائية. يمكننا استخدام الفكرة التالية: في كل مرحلة، يمكن أن نعرف كم عدد الأرقام التي كتبها ألبرت بداية من الرقم 1 حتى الرقم 9، ثم 10 حتى 99، ثم 100 حتى 999، وهكذا.

لنقم بحساب عدد الأرقام في كل فترة:

• من 1 إلى 9: يوجد 9 أرقام.
• من 10 إلى 99: كل رقم يتكون من اثنين من الأرقام، لذا يوجد $90 \times 2 = 180$ رقم.
• من 100 إلى 999: كل رقم يتكون من ثلاثة أرقام، لذا يوجد $900 \times 3 = 2700$ رقم.

إجمالاً، عدد الأرقام التي كتبها ألبرت قبل أن يدرك أن القائمة ستكون لا نهائية هو $9 + 180 + 2700 = 2889$ رقم.

الآن، عندما يكتب ألبرت الرقم 1000، فإنه سيكون الرقم الثلاثة الآخيرة في القائمة، لذا علينا فقط أن نحسب المكان الذي سيصل إليه ألبرت في القائمة الحالية. لنحسب ذلك:

• 2889 + 3 = 2892.

لكن الرقم الذي سيكون في مكان 2892 هو 1000. إذاً، الرقم المطلوب هو الرقم الذي قبله، وهو 999. تتكون الرقم المطلوب من الأرقام 9 و 9 و 9.

لكن هذا ليس الجواب النهائي، حيث يجب أن نتذكر أن ألبرت بدأ بكتابة الأعداد التي تبدأ بالرقم X. لذا، الرقم 999 يجب أن يكون 3 أرقام متتالية بدايةً بالرقم X.

لنقم بتجريب الأرقام لنرى أي منها يعطي الرقم 999 عند الكتابة:

• إذا كان X = 1، فإن الأرقام المتتالية هي 111، وليست 999.
• إذا كان X = 2، فإن الأرقام المتتالية هي 222، وليست 999.
• …
• إذا كان X = 9، فإن الأرقام المتتالية هي 999، وهو الجواب المطلوب.

إذاً، قيمة المتغير X هي 9.

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير X والوصول إلى الإجابة الصحيحة، يمكننا القيام بالخطوات التالية بشكل مفصل:

1. حساب عدد الأرقام التي كتبها ألبرت حتى الآن:

   • الأرقام من 1 إلى 9: هناك تسعة أرقام.
   • الأرقام من 10 إلى 99: لكل رقم اثنان من الأرقام، إذاً يوجد 90 رقمًا في هذا النطاق.
   • الأرقام من 100 إلى 999: لكل رقم ثلاثة أرقام، إذاً يوجد 900 رقم في هذا النطاق.

   إذاً، إجمالي الأرقام التي كتبها ألبرت حتى الآن هو: 9 + 90 × 2 + 900 × 3 = 2889 رقمًا.

2. حساب المكان الذي وصل إليه ألبرت في القائمة:

   • لقد كتب ألبرت 1000 رقم، لذا موقع الرقم الأخير (الرقم 1000) هو 2889 + 1000 = 3889.

3. العثور على الأرقام الثلاثة الأخيرة:

   • الرقم 3889 سيكون في المكان 3889 – 2889 = 1000 في القائمة.
   • بما أن الرقم 1000 ينتهي بـ “0”، فإن الأرقام الثلاثة الأخيرة هي 0، 0، و 1.

4. العثور على الرقم الذي يسبق الرقم 1000 في القائمة:

   • الرقم الذي يسبق الرقم 1000 هو الرقم 999.

5. العثور على القيمة المناسبة للمتغير X:

   • الرقم 999 يجب أن يبدأ بالرقم X، لذا يكون تكوينه: X، X، X.
   • ومن ثم، القيمة المناسبة لـ X هي 9.

باستخدام هذه الخطوات، نحصل على الإجابة النهائية وهي أن قيمة المتغير X هي 9، والرقم الذي ينتهي بثلاثة أرقام هو 999.