حل مسألة الأعداد المتتالية الإيجابية (مسألة رياضيات)

ما هو أكبر عدد من الأعداد المتتالية الإيجابية التي يمكن جمعها دون تجاوز مجموع يبلغ 400؟

لنقم بتحديد أكبر عدد من الأعداد المتتالية الإيجابية التي يمكن جمعها دون تجاوز مجموع 400، نبدأ بأصغر عدد إيجابي ونقوم بجمع الأعداد المتتالية حتى يتم تجاوز المجموع المطلوب.

لنفترض أن العدد الأول الذي نبدأ به هو 1، ثم نقوم بإضافة الأعداد التالية بشكل متتالي حتى نصل إلى مجموع يتجاوز 400. لحساب العدد الأكبر من الأعداد المتتالية التي يمكن جمعها بشكل صحيح، يمكننا استخدام المعادلة التالية:

$1 + 2 + 3 + \ldots + n \leq 400$

حيث $n$ هو العدد الأكبر من الأعداد المتتالية التي يمكن جمعها.

نعلم أن مجموع الأعداد الأولى $n$ يمكن حسابه باستخدام القاعدة التالية لمجموع تسلسل الأعداد الطبيعية:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

وبالتالي يكون لدينا المعادلة التالية:
$\frac{n(n+1)}{2} \leq 400$

لحل هذه المعادلة، نقوم بتجريب قيم مختلفة لـ $n$ حتى نجد أكبر قيمة تلبي الشرط. قيمة $n$ الأكبر التي تلبي هذا الشرط هي الحد الأقصى لعدد الأعداد المتتالية التي يمكن جمعها دون تجاوز المجموع المطلوب.

لنقم بالتجربة:

$\frac{n(n+1)}{2} \leq 400$

$n(n+1) \leq 800$

تجريب القيم:

$n = 20 : 20(20+1) = 20 \times 21 = 420$ (أكبر من 400)
$n = 19 : 19(19+1) = 19 \times 20 = 380$ (أقل من 400)

يبدو أن أكبر قيمة تلبي الشرط هي $n = 19$.

لذا، يمكن جمع 19 عددًا متتاليًا بدءًا من العدد 1 دون تجاوز مجموع 400.

لحل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، نحن بحاجة إلى فهم بعض القوانين الرياضية المستخدمة والتي تشمل مفهوم الأعداد المتتالية ومجموع التسلسلات الحسابية.

1. مفهوم الأعداد المتتالية: الأعداد المتتالية هي سلسلة من الأعداد تتابع بشكل متسلسل وتزيد أو تقل بقيمة معينة في كل مرة. على سبيل المثال، (1, 2, 3, 4) هي أعداد متتالية بفارق قدره 1 بين كل عددين.

2. مجموع التسلسلات الحسابية: تسمى سلسلة من الأعداد التي تتابع بنمط معين بتسلسل حسابي. ومجموع التسلسل الحسابي لأول $n$ أعداد يمكن حسابه بالقاعدة التالية:
   $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
   حيث $n$ هو عدد الأعداد في التسلسل، $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل، و $a_n$ هو العنصر الأخير في التسلسل.

3. تحديد أكبر عدد من الأعداد المتتالية: لتحديد أكبر عدد من الأعداد المتتالية التي يمكن جمعها بدون تجاوز قيمة معينة، نحتاج إلى حساب المجموع التسلسلي للأعداد المتتالية ومقارنته بالقيمة المطلوبة.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حل المسألة كالتالي:

نبدأ بتحديد العدد الأول من الأعداد المتتالية (1)، ثم نبدأ بإضافة الأعداد التالية بشكل متتالي حتى يتجاوز المجموع المطلوب (400). نستخدم قاعدة مجموع التسلسل الحسابي لحساب مجموع الأعداد المتتالية.

لنحسب أكبر عدد من الأعداد المتتالية:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
$400 = \frac{n(1 + a_n)}{2}$
$800 = n(1 + a_n)$

وبما أننا نريد أكبر عدد من الأعداد، فنحن نفترض $a_n$ هو العدد الأكبر في السلسلة. ومن المعلوم أن $a_n$ يكون $a_n = 1 + (n-1) = n$.

وبالتالي:

$800 = n(1 + n)$
$800 = n^2 + n$
$n^2 + n – 800 = 0$

الآن، يمكننا حل هذه المعادلة من خلال استخدام القاعدة العامة لحساب الجذر التربيعي للمعادلة من خلال النموذج التالي:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = 1$، و $c = -800$. بعد حساب القيمة، سنجد أن $n$ قريب من 28.28. ومن خلال التجريب، نجد أن أقرب قيمة لـ $n$ هي 28.

لكننا نبحث عن أكبر عدد من الأعداد المتتالية، لذا يجب علينا التأكد مما إذا كانت هناك قيمة أصغر لـ $n$ تحقق الشرط. وباستبعاد قيم أصغر، نجد أن $n = 19$ هي القيمة التي تلبي الشرط.

لذا، يمكن جمع 19 عددًا متتاليًا بدءًا من العدد 1 دون تجاوز مجموع 400.