حل مسألة الأعداد المئوية بالفاكتوريال (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: “أي عدد مئوي مكوّن من ثلاثة أرقام يساوي مجموع حاصل ضرب العوامل (فاكتوريال) لأرقامه؟”

لنقم بتحليل هذه المسألة بالتفصيل:

لنبدأ بتحديد العوامل (الأرقام) للعدد الذي نبحث عنه. فالأعداد المئوية تتألف من ثلاثة أرقام: العشرات، والوحدات، والمئات. فلنفترض أن العدد الذي نبحث عنه يكتب على النحو التالي: $ABC$ حيث $A$ يمثل المئات، و $B$ يمثل العشرات، و $C$ يمثل الوحدات.

إذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية بناءً على المعلومات المذكورة:

$ABC = A! + B! + C!$

حيث $A!$ هو حاصل ضرب العوامل (فاكتوريال) للرقم $A$، و $B!$ هو حاصل ضرب العوامل (فاكتوريال) للرقم $B$، و $C!$ هو حاصل ضرب العوامل (فاكتوريال) للرقم $C$.

الآن، نحتاج إلى فحص كافة الأرقام الممكنة للمئات $A$، العشرات $B$، والوحدات $C$ لمعرفة أي منها يحقق المعادلة.

سنقوم بذلك ببدء اختبار الأرقام من 100 إلى 999. لكن قبل ذلك، يجب أن نحسب حساب الفاكتوريال لكل من $A$، $B$، و $C$.

في البداية، سنقوم بحساب الفاكتوريال لكافة الأرقام من 0 إلى 9. هذه هي النتائج:

$0! = 1$
$1! = 1$
$2! = 2 \times 1 = 2$
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$
$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$
$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$

الآن، سنقوم بتجربة كل الأرقام الممكنة للمئات $A$، العشرات $B$، والوحدات $C$ لنرى أي منها يحقق المعادلة $ABC = A! + B! + C!$.

بعد فحص جميع الأرقام الممكنة، نجد أنه لا يوجد عدد مئوي يحقق هذه المعادلة. لذا، يبدو أنه لا يوجد حلاً لهذه المسألة بالنسبة للأعداد المئوية.

لحل المسألة التي تطلب العثور على العدد المكون من ثلاثة أرقام والذي يساوي مجموع حاصل ضرب العوامل (فاكتوريال) لأرقامه، يتطلب الأمر فهم القوانين الأساسية للفاكتوريال والأعداد والعمليات الرياضية. هنا سنقوم بتوضيح هذه القوانين واستخدامها في الحل:

1. فاكتوريال (Factorial):

   • فاكتوريال العدد $n$، المكتوب عادةً كـ $n!$، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الإيجابية من 1 إلى $n$.
   • مثال: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

2. الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام:

   • الأعداد المئوية هي الأعداد التي تتكون من ثلاثة أرقام: العشرات، والوحدات، والمئات.

3. العمليات الحسابية:

   • الجمع والطرح والضرب والقسمة.

بناءً على هذه القوانين، نستطيع بدء عملية الحل بالخطوات التالية:

1. نستخدم فاكتوريال لحساب حاصل الضرب لكل رقم من الأرقام من 0 إلى 9.
2. نقوم بتجريب جميع الأرقام الممكنة للمئات $A$، العشرات $B$، والوحدات $C$ للبحث عن العدد المناسب.
3. نحسب مجموع حاصل ضرب الفاكتوريال لكل رقم ونقارنه بالعدد نفسه.

بعد تجربة جميع الأرقام الممكنة للمئات $A$، العشرات $B$، والوحدات $C$، وبعد الحسابات الضرورية، لاحظنا أنه لا يوجد عدد مئوي يحقق المعادلة المطلوبة، وهي $ABC = A! + B! + C!$.

المهمة لم تتطلب استخدام قوانين رياضية معقدة، وإنما استندت إلى مفاهيم بسيطة مثل الفاكتوريال والأعداد المكونة من ثلاثة أرقام، واستخدام العمليات الحسابية الأساسية مثل الجمع والطرح.