حل مسألة الأعداد القاعدية (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد قيمة العدد $b$ التي تجعل المعادلة $161_b + 134_b = 315_b$ صحيحة. لفهم هذه المسألة، يجب أن نعلم أن $161_b$ يعبر عن العدد 161 في نظام ترقيمي قاعدي $b$، وبالمثل $134_b$ يعبر عن العدد 134 في النظام القاعدي $b$، و$315_b$ يعبر عن العدد 315 في النظام القاعدي $b$ أيضا.

لحل المسألة، يمكننا بدءاً باستبدال كل عدد بقيمته العددية الحقيقية باستخدام النظام العشري، ثم نقوم بجمع الأعداد معاً ونقارن الناتج مع العدد 315 في النظام العشري. إذا كانت النتيجة متطابقة، فإن القيمة التي اخترناها لـ $b$ هي الصحيحة.

لذا، نقوم بتحويل $161_b$ إلى العدد العشري. في النظام القاعدي $b$، العدد 161 يكون مكوناً من الأرقام $1$ و$6$ و$1$ متتالية، حيث يمثل $1$ أول رقم من اليسار، و$6$ الرقم الثاني، و$1$ الرقم الثالث.

بما أننا نعمل في النظام القاعدي $b$، فإننا نحتاج إلى تحويل هذه الأرقام إلى النظام العشري. للقيام بذلك، نقوم بالضرب في $b$ مرفوع للأس الذي يمثل موقع الرقم من اليمين. إذاً، $161_b$ يتحول إلى $1 \times b^2 + 6 \times b^1 + 1 \times b^0$.

نقوم بنفس العملية لتحويل $134_b$ و$315_b$.

لذلك، المعادلة تصبح:
$1 \times b^2 + 6 \times b^1 + 1 \times b^0 + 1 \times b^2 + 3 \times b^1 + 4 \times b^0 = 3 \times b^2 + 1 \times b^1 + 5 \times b^0$

وبتجميع الأعضاء المماثلة معاً، نحصل على:
$2 \times b^2 + 9 \times b^1 + 5 \times b^0 = 3 \times b^2 + 1 \times b^1 + 5 \times b^0$

الآن، نقوم بضرب وتقسيم كل معادلة للتوصل إلى القيمة المناسبة لـ $b$.

$2b^2 + 9b + 5 = 3b^2 + b + 5$

$2b^2 – 3b^2 + 9b – b = 5 – 5$

$b^2 + 8b = 0$

$b(b + 8) = 0$

إما $b = 0$ أو $b + 8 = 0$.

في حالة $b = 0$، سنكون في نظام ترقيمي لا يمكن أن يحتوي على الرقم 161.

لذا، $b + 8 = 0$، ومن ذلك $b = -8$.

إذاً، القيمة التي تجعل المعادلة صحيحة هي $b = -8$.

لحل المسألة وإيجاد قيمة $b$ التي تجعل المعادلة $161_b + 134_b = 315_b$ صحيحة، نحتاج إلى فهم القوانين الأساسية للنظم العددية والعمليات الحسابية عليها.

1. نظام العد العشري والنظم القاعدي: في النظام العشري، لدينا الأرقام من 0 إلى 9. في النظم القاعدي، مثل النظام الثنائي (العد الثنائي) والنظام الثماني (العد الثماني) والنظام السداسي عشري (العد الست عشري)، لدينا قواعد مختلفة للعد. على سبيل المثال، في النظام الثنائي، لدينا الأرقام 0 و 1 فقط.

2. قواعد الجمع والطرح في النظم القاعدية: يتم جمع وطرح الأعداد في النظم القاعدي بنفس الطريقة التي يتم فيها في النظام العشري. يتم جمع الأعداد عمودياً وتقوم الأرقام بالتمثيل الصحيح للقيم.

3. تحويل الأعداد بين النظم القاعدي والعشري: لتحويل عدد من النظام القاعدي إلى النظام العشري، نحتاج إلى استخدام القواعد المذكورة والقوانين المتعلقة بكل نظام. يتضمن ذلك استخدام قواعد الأساس والضرب والجمع.

بناءً على هذه القوانين، نقوم بحل المسألة على النحو التالي:

أولاً، نقوم بتحويل الأعداد $161_b$ و $134_b$ و $315_b$ إلى النظام العشري.

للقيام بذلك، نستخدم قواعد الأساس. على سبيل المثال، $161_b$ يتحول إلى $1 \times b^2 + 6 \times b^1 + 1 \times b^0$. وبالتالي، $161_b = b^2 + 6b + 1$.

بنفس الطريقة، $134_b = b^2 + 3b + 4$ و $315_b = 3b^2 + b + 5$.

الآن، نقوم بوضع المعادلة $161_b + 134_b = 315_b$ وحلها:

$(b^2 + 6b + 1) + (b^2 + 3b + 4) = (3b^2 + b + 5)$

$2b^2 + 9b + 5 = 3b^2 + b + 5$

$2b^2 – 3b^2 + 9b – b = 5 – 5$

$-b^2 + 8b = 0$

$b(b – 8) = 0$

الحلول لهذه المعادلة هي $b = 0$ أو $b = 8$.

ومع ذلك، يجب أن نتذكر أن $b$ يمثل قاعدة نظام العد، وبالتالي يجب أن تكون قيمة $b$ أكبر من 1. وبما أن ذلك يستبعد $b = 0$، فإن القيمة الوحيدة المقبولة هي $b = 8$.

لذا، القيمة التي تجعل المعادلة $161_b + 134_b = 315_b$ صحيحة هي $b = 8$.