حل مسألة الأعداد القاعدية المتبادلة (مسألة رياضيات)

تمثّل العدد الصحيح الإيجابي في النظام العددي القاعدي $9$ بواسطة الرقمين $A$ و $B$، بينما يتمثل في النظام العددي القاعدي $7$ بالرقمين $B$ و $A$. لحل هذه المسألة، نحتاج إلى تحويل كل رقم من النظام العددي القاعدي $9$ إلى النظام العددي القاعدي $10$ ومن ثم إلى النظام العددي القاعدي $7$، والعكس.

للعثور على القيمة العددية في النظام العددي القاعدي $10$، يمكننا استخدام العلاقة:

$\text{القيمة في النظام العددي القاعدي } 10 = A \times 9 + B$

ثم، بعد ذلك، يمكننا تحويل القيمة المحسوبة إلى النظام العددي القاعدي $7$ باستخدام العلاقة:

\text{القيمة في النظام العددي القاعدي } 7 = (القيمة في النظام العددي القاعدي } 10) \mod 7

وبالتالي، نحصل على القيمة العددية في النظام العددي القاعدي $10$، ثم نقوم بتحويلها إلى النظام العددي القاعدي $7$.

لنقم بحساب القيمة العددية في النظام العددي القاعدي $10$:

$\text{القيمة في النظام العددي القاعدي } 10 = A \times 9 + B$

ونستخدم العلاقة الثانية لتحويلها إلى النظام العددي القاعدي $7$:

$\text{القيمة في النظام العددي القاعدي } 7 = (A \times 9 + B) \mod 7$

الآن، يمكننا حل المعادلة والعثور على القيمة المناسبة. ولكن قبل ذلك، يجب أن نلاحظ أن $A$ و $B$ يمكن أن يأخذا قيمًا من $0$ إلى $6$ لأنهما أرقام في النظام العددي القاعدي $7$. لذا، لنجرب جميع القيم الممكنة لـ $A$ و $B$ ونختار الأزواج التي تنطبق على المسألة.

نجرب كل القيم الممكنة:

• عندما تكون $A = 0$ و $B = 1$، يكون العدد في النظام العددي القاعدي $9$ هو $01$ وفي النظام العددي القاعدي $7$ هو $10$.
• عندما تكون $A = 0$ و $B = 2$، يكون العدد في النظام العددي القاعدي $9$ هو $02$ وفي النظام العددي القاعدي $7$ هو $20$.
• عندما تكون $A = 1$ و $B = 0$، يكون العدد في النظام العددي القاعدي $9$ هو $10$ وفي النظام العددي القاعدي $7$ هو $01$.
• عندما تكون $A = 1$ و $B = 2$، يكون العدد في النظام العددي القاعدي $9$ هو $12$ وفي النظام العددي القاعدي $7$ هو $21$.

نرى أن القيمة التي تنطبق على المسألة هي $A = 1$ و $B = 2$. لذا، العدد المطلوب في النظام العددي القاعدي $10$ هو $1 \times 9 + 2 = 11$، ثم في النظام العددي القاعدي $7$ هو $11 \mod 7 = 4$.

وبالتالي، العدد الذي تمثله الأرقام $AB$ و $BA$ في النظامين العدديين $9$ و $7$ بالترتيب هو $11$ في النظام العددي القاعدي $10$ و $4$ في النظام العددي القاعدي $7$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم في الجبر والعمليات الحسابية. سنبدأ باستخدام قواعد النظم العددي القاعدي لتحويل الأعداد بين الأنظمة العددية المختلفة.

1. تمثيل الأعداد في الأنظمة العددية القاعدية: في النظام العددي القاعدي $n$، يتم تمثيل الأعداد باستخدام الأرقام من $0$ إلى $n-1$.
2. القيمة العددية في النظام العددي القاعدي: يُمثل كل رقم مكانه العدد المضاعف للقاعدة المرتبطة به، على سبيل المثال، في النظام العشري، الرقم $456$ يمثل $4 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 6 \times 10^0$.
3. القسمة والباقي (Modulus): عند القسمة على عدد صحيح، يتم استخراج الباقي، مثلاً $7 \mod 3 = 1$.
4. التحويل بين الأنظمة العددية القاعدية: يتم تحويل الأعداد بين الأنظمة العددية القاعدية المختلفة باستخدام العلاقات الرياضية المناسبة.

الآن، لحل المسألة:
لنعبر عن العدد في النظام العددي القاعدي $9$ بواسطة الأرقام $A$ و $B$، يصبح العدد في النظام العددي القاعدي $10$ هو $9A + B$.
لتمثيل العدد في النظام العددي القاعدي $7$ باستخدام الأرقام $B$ و $A$، يصبح العدد في النظام العددي القاعدي $10$ هو $7B + A$.

ومن المعطيات، نعلم أن:

$9A + B = 7B + A$

نريد حل هذه المعادلة للعثور على القيم الممكنة لـ $A$ و $B$.
بعد حساب المعادلة، نجد:

$8A = 6B$

الآن، نحتاج إلى إيجاد قيم مناسبة لـ $A$ و $B$ بحيث تكون القيم صحيحة وتفي بشرط المسألة.
يمكننا اختيار قيم ممكنة مثل $A = 6$ و $B = 8$.

بعد ذلك، نحسب القيمة العددية في النظام العددي القاعدي $10$ ومن ثم نحولها إلى النظام العددي القاعدي $7$.
في هذا السياق، العدد في النظام العددي القاعدي $10$ هو $9 \times 6 + 8 = 62$، ومن ثم في النظام العددي القاعدي $7$ هو $62 \mod 7 = 6$.

وهكذا، نستنتج أن العدد المطلوب هو $62$ في النظام العددي القاعدي $10$ و $6$ في النظام العددي القاعدي $7$.

هذا هو الحل الكامل للمسألة باستخدام القوانين المذكورة أعلاه.