حل مسألة الأعداد القابلة للعكس modulo 8 (مسألة رياضيات)

أربعة أعداد صحيحة موجبة متميزة $a، b، c، d$ أقل من 8 والتي تكون قابلة للعكس (invertible) بالنسبة للنظام القسمة على 8. الهدف هو إيجاد الباقي عندما يتم قسم $(abc+abd+acd+bcd)(abcd)^{-1}$ على 8.

للبداية، نحتاج إلى إيجاد الأعداد التي تكون قابلة للعكس (invertible) بالنسبة للنظام القسمة على 8. إذا كانت $a، b، c، d$ أقل من 8، فإن الأعداد القابلة للعكس هي تلك التي لا تشترك في القواسم المشتركة مع 8. لذلك، يمكننا اختيار الأعداد 1، 3، 5، 7.

الآن، نقوم بحساب $(abc+abd+acd+bcd)$:
\begin{align*}
&(abc+abd+acd+bcd) \
&= a(bc+bd+cd) + b(ac+ad+cd) + c(ab+ad+bd) + d(ab+ac+bc) \
&= a(b+c)(c+d) + b(a+c)(a+d) + c(a+b)(b+d) + d(a+b)(a+c).
\end{align*}

الآن نقوم بحساب $abcd$:
$abcd = (a \cdot b \cdot c \cdot d).$

الباقي عند قسم $(abc+abd+acd+bcd)(abcd)^{-1}$ على 8 يكون:
\begin{align*}
&(abc+abd+acd+bcd)(abcd)^{-1} \
&= \frac{a(b+c)(c+d) + b(a+c)(a+d) + c(a+b)(b+d) + d(a+b)(a+c)}{abcd} \
&= \frac{(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)}{(a \cdot b \cdot c \cdot d)}.
\end{align*}

الآن نستخدم القيم المحددة لـ $a، b، c، d$ وهي 1، 3، 5، 7:
\begin{align*}
&(1+2)(1+3)(1+4)(3+4)(3+6)(5+6) \
&= 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \
&= 83160.
\end{align*}

الآن نحسب الباقي عندما يتم قسم 83160 على 8:
$83160 \equiv 0 \pmod{8}.$

إذاً، الباقي عند قسم $(abc+abd+acd+bcd)(abcd)^{-1}$ على 8 هو 0.

لحل هذه المسألة، سنبدأ بالبحث عن الأعداد الصحيحة الموجبة التي تكون قابلة للعكس (invertible) في النظام المتبقي modulo 8. تكون هذه الأعداد تلك التي لا تشترك في القواسم المشتركة مع 8. لذا، نختار الأعداد 1، 3، 5، 7.

قانون العكس: إذا كانت $a$ قابلة للعكس modulo $n$، فإن هناك عددًا صحيحًا $a^{-1}$ بحيث $a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$.

الآن، نقوم بحساب $(abc+abd+acd+bcd)$ باستخدام القيم المحددة:
\begin{align*}
&(abc+abd+acd+bcd) \
&= a(bc+bd+cd) + b(ac+ad+cd) + c(ab+ad+bd) + d(ab+ac+bc) \
&= a(b+c)(c+d) + b(a+c)(a+d) + c(a+b)(b+d) + d(a+b)(a+c).
\end{align*}

ثم نقوم بحساب $abcd$:
$abcd = (a \cdot b \cdot c \cdot d).$

نستخدم القانون المذكور أعلاه لحساب العكس modulo 8 لكل قيمة من $a، b، c، d$.

أخيرًا، نقوم بحساب الباقي عندما يتم قسم $(abc+abd+acd+bcd)(abcd)^{-1}$ على 8:
\begin{align*}
&(abc+abd+acd+bcd)(abcd)^{-1} \
&= \frac{(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)}{(a \cdot b \cdot c \cdot d)}.
\end{align*}

نستخدم القيم المحددة لـ $a، b، c، d$ ونقوم بالحساب. في هذه الحالة، تكون الإجابة 0 modulo 8.

القوانين المستخدمة:

1. قانون العكس modulo 8.
2. قوانين الجمع والضرب modulo 8.

تم استخدام هذه القوانين لتحليل العلاقات بين الأعداد وحساب الباقي عند القسمة على 8.