حل مسألة الأعداد الحقيقية: تقنيات وحسابات (مسألة رياضيات)

من المعروف أن مجموع مربعات الأعداد الحقيقية اللاسالب a و b و c يساوي 39، وأن مجموع منتجات الأعداد ab و bc و ca يساوي 21. الآن، الهدف هو حساب مجموع الأعداد a و b و c.

لنبدأ بتحليل المعطيات. إذا كانت a و b و c أعدادًا حقيقية غير سالبة، فإن المجموعة المعروفة هي مربعاتهم:

a^2 + b^2 + c^2 = 39

والمجموع المطلوب هو:

a + b + c

الآن، دعنا نستخدم معلومات المنتجات لحل المسألة. يمكننا استخدام تقنية التعميم في حساب مربع المجموعة. لدينا:

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)

ومن المعطيات نعلم أن:

a^2 + b^2 + c^2 = 39
ab + bc + ca = 21

نستبدل القيم في المعادلة:

(a + b + c)^2 = 39 + 2(21)

(a + b + c)^2 = 39 + 42

(a + b + c)^2 = 81

الآن، نقوم بأخذ الجذر التربيعي للطرفين للحصول على قيمة المجموع:

a + b + c = √81

a + b + c = 9

إذاً، مجموع الأعداد a و b و c هو 9.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة. لنقم بإعادة صياغة المسألة ثم نستخدم القوانين للوصول إلى الإجابة.

المسألة:
إذا كان مجموع مربعات الأعداد الحقيقية اللاسالب a و b و c هو 39، وكان مجموع منتجات الأعداد ab و bc و ca هو 21، فما هو مجموع الأعداد a و b و c؟

الحل:
لدينا المعادلة الأولى:
$a^2 + b^2 + c^2 = 39$

والمعادلة الثانية:
$ab + bc + ca = 21$

الهدف هو حساب $a + b + c$.

لنستخدم قاعدة التعميم لحساب مربع المجموعة:
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

نعوض القيم المعروفة:
$(a + b + c)^2 = 39 + 2(21)$

$(a + b + c)^2 = 39 + 42$

$(a + b + c)^2 = 81$

الآن، نستخدم جذر التربيع للحصول على قيمة المجموع:
$a + b + c = \sqrt{81}$

$a + b + c = 9$

إذاً، تم حساب مجموع الأعداد a و b و c وهو 9.

القوانين المستخدمة:

1. مربع المجموعة: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$
2. التعميم في حساب المجموعات: استخدمنا قاعدة التعميم لحساب مربع المجموعة بناءً على المعادلات المعطاة.
3. جذر التربيع: لحساب المجموع عندما نعلم مربعه.

باستخدام هذه القوانين، تمكنا من حل المسألة بشكل دقيق ودوري.