حل مسألة الأعداد الإيجابية: الوسيط والمتوسط (مسألة رياضيات)

متوسط ​​القيم الثلاثة الموجبة يساوي 26 والوسيط يساوي 27، مع الوسيط يكون أقل من أكبر عدد بـ 5. ما هو أصغر عدد؟

لنقم بتعريف الأعداد الثلاثة بـ $x$، $y$، و $z$، حيث $x$ يمثل أصغر الأعداد و $z$ يمثل أكبرها.

مع متوسط الأعداد يساوي 26، يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$\frac{x + y + z}{3} = 26$

ومع الوسيط يساوي 27، فإننا نعرف أن القيم المرتبة بشكل صحيح هي $x$، $27$، و $z$.

أيضًا، نعلم أن الوسيط $27$ يكون أقل من $z$ بـ $5$، لذا يمكن كتابة:
$z – 27 = 5$

الآن، لدينا نظام مكون من معادلتين وثلاثة مجهولات. لحل هذا النظام، يمكننا استخدام المعادلات لإيجاد قيم الأعداد.

نبدأ بتعويض قيمة $z$ في المعادلة الثانية:
$z = 27 + 5 = 32$

ثم نستخدم قيمة $z$ لحل المعادلة الأولى:
$\frac{x + y + 32}{3} = 26$
$x + y + 32 = 3 \times 26 = 78$
$x + y = 78 – 32 = 46$

الآن، لدينا نظام آخر من المعادلات. من الممكن استخدام الحقائق التي لدينا عن الأعداد لحل هذا النظام.

نلاحظ أن $x$ هو العدد الأصغر، ويجب أن يكون أقل من $27$، لكن $27$ هو الوسيط. لذا $x$ يجب أن يكون أقل من $27$.

إذاً، إذا كان $x$ هو العدد الأصغر، فإن أصغر قيمة ممكنة لـ $x$ هي 1.

بعد ذلك، نحصل على $y$ بواسطة العلاقة:
$x + y = 46$
$1 + y = 46$
$y = 46 – 1 = 45$

وبالتالي، الأعداد الثلاثة هي 1، 45، و 32. والعدد الأصغر هو 1.

لحل هذه المسألة، سنستخدم المفاهيم الأساسية في الجبر والحساب. سنستخدم القوانين الرياضية الأساسية مثل قانون الأعداد الوسيطية وقانون المتوسط الحسابي.

القوانين المستخدمة:

1. المتوسط الحسابي:
   يُعرف المتوسط الحسابي على أنه مجموع مجموعة الأعداد مقسومًا على عددها. في هذه المسألة، نستخدم المتوسط الحسابي لمعرفة العلاقة بين الأعداد الثلاثة: مجموعها مقسومًا على 3 يساوي 26.

2. الوسيط:
   الوسيط هو العدد الذي يقسم مجموع الأعداد إلى نصفين متساويين. في هذه المسألة، نستخدم الوسيط لتحديد العلاقة بين الأعداد الثلاثة.

لنبدأ الحل:

لنفترض أن الأعداد الثلاثة هي $x$، $y$، و $z$، حيث $x$ هو الأصغر و $z$ هو الأكبر.

نستخدم المتوسط الحسابي لكتابة المعادلة الأولى:
$\frac{x + y + z}{3} = 26$

نستخدم الوسيط لكتابة المعادلة الثانية، حيث يكون $y$ هو الوسيط:
$y = 27$

ونعلم أيضًا أن $y$ أقل من $z$ بـ 5:
$z – y = 5$

وبالتالي، يمكن كتابة:
$z = y + 5 = 27 + 5 = 32$

الآن، لدينا نظام من المعادلات:

1. $\frac{x + y + 32}{3} = 26$
2. $y = 27$
3. $z = 32$

من المعادلة الثانية، نعرف أن $y = 27$.

ثم، نستخدم المعادلة الأولى لحساب $x$:
$\frac{x + 27 + 32}{3} = 26$
$x + 59 = 3 \times 26$
$x + 59 = 78$
$x = 78 – 59 = 19$

الآن، نعرف القيم الثلاثة: $x = 19$، $y = 27$، و $z = 32$.

وبالتالي، العدد الأصغر هو 19.