حل مسألة: الأضلاع المتوازية والتناظر الهندسي (مسألة رياضيات)

المسألة:
ما هو عدد السنتيمترات في طول القطعة $EF$ إذا كانت $AB\parallel CD\parallel EF$؟

الحل:
نلاحظ من الرسم أن $AB$ و $CD$ و $EF$ هي خطوط متوازية.
إذاً، نستطيع استخدام خواص المثلثات المتوازية لحل المسألة.
من الرسم، معروف أن القطعة $AB$ تمثل $150$ سنتيمتر، والقطعة $CD$ تمثل $100$ سنتيمتر.

حيث أن $AB\parallel CD$، يمكننا استخدام التناظر بين الأضلاع للمثلثات المتوازية.
لذا، نعرف أن نسبة الأضلاع المتطابقة في المثلثين $ABE$ و $CDE$ متساوية.
بمعنى آخر، نستخدم التناظر بين المثلثين لحساب النسبة بين الأضلاع المتطابقة.

إذاً، نعرف أن نسبة الأضلاع المتطابقة في المثلثين $ABE$ و $CDE$ هي $3:2$، بناءً على نسب الأضلاع $150:100$.

الآن، بما أن $AB\parallel EF$، فإن النسبة بين طول $EF$ و $AB$ هي نفس النسبة بين طول $CD$ و $AB$.
إذاً، نحتاج إلى حساب طول $EF$.

من نسبة الأضلاع $3:2$، نعرف أن طول $CD$ هو $\frac{2}{3}$ من طول $AB$.
إذاً، طول $CD$ يساوي $\frac{2}{3} \times 150 = 100$ سنتيمتر.

وبما أن $CD\parallel EF$، فإن نسبة الأضلاع بين $CD$ و $EF$ هي نفسها كنسبة الأضلاع بين $AB$ و $EF$، وهي $3:2$.
بالتالي، نستخدم النسبة $3:2$ لحساب طول $EF$.

من النسبة $3:2$، نعرف أن طول $CD$ هو $\frac{3}{2}$ من طول $EF$.
إذاً، نقوم بحساب طول $EF$ عن طريق قسم الطول $CD$ على $\frac{3}{2}$.

طول $EF = \frac{100}{\frac{3}{2}} = \frac{100 \times 2}{3} = \frac{200}{3} \approx 66.67$ سنتيمتر.

إذاً، طول القطعة $EF$ تقريباً $66.67$ سنتيمتر.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم باستخدام عدة مفاهيم هندسية وقوانين تتعلق بالمثلثات المتوازية والتناظر الهندسي. سنقوم بتحليل الوضع وتطبيق القوانين التالية:

1. الخواص الأساسية للمثلثات المتوازية:
   عندما تكون خطوط مستقيمة متوازية، يحدث تناظر في الزوايا والأضلاع بين المثلثات التي تكونت نتيجة لتقاطع هذه الخطوط. هذه الخواص تتضمن:

   • زوايا متناظرة متساوية.
   • الأضلاع المتقابلة متساوية في المثلثات المتوازية.

2. قوانين التناظر الهندسي:

   • عندما يكون لدينا تناظر هندسي بين مثلثين، يكون نسب الأضلاع المتناظرة متساوية.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة المعطاة:

أولاً، نستخدم قوانين المثلثات المتوازية للتعامل مع الأضلاع والزوايا. في المثلثين $ABE$ و $CDE$، يتمثل التناظر بينهما بوجود خطوط متوازية $AB$ و $CD$، ونعرف أن طول $AB$ يساوي 150 سنتيمتر وطول $CD$ يساوي 100 سنتيمتر.

ثانياً، نستخدم قانون التناظر الهندسي لحساب طول القطعة $EF$. نعلم أن النسبة بين أضلاع المثلثات المتوازية $ABE$ و $CDE$ هي $3:2$ بناءً على نسب الأضلاع $AB$ و $CD$.

وبما أن $CD\parallel EF$، فإن نسبة الأضلاع بين $CD$ و $EF$ هي نفسها كنسبة الأضلاع بين $AB$ و $EF$، وهي $3:2$. من هنا، نقوم بحساب طول $EF$ عن طريق قسم الطول $CD$ على $\frac{3}{2}$.

باختصار، نستخدم القوانين المذكورة لتحديد النسب بين الأضلاع المتوازية ونستخدم هذه النسب لحساب طول القطعة $EF$ باستخدام قانون التناظر الهندسي. يتمثل الحل في استخدام هذه الخواص الهندسية بطريقة منطقية ودقيقة لحساب الطول المطلوب.