المسألة الرياضية:
الصيغة لمساحة السطح الكلي لأسطوانة هي $SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$، حيث $r$ هو النصف القطر و $h$ هو الارتفاع. أسطوانة صلبة محددة بنصف قطر X قدم تمتلك مساحة سطح إجمالية تبلغ $12\pi$ قدم مربع. الارتفاع لهذه الأسطوانة هو 1. ما قيمة المتغير المجهول X؟
الحل:
نستخدم البيانات المعطاة لحل المسألة. لدينا معادلة لمساحة السطح الكلي للأسطوانة:
$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$
ومن المعطيات نعرف أن قيمة الارتفاع $h = 1$ قدم. لذا نستبدل $h$ بقيمته المعروفة في المعادلة:
$SA = 2\pi r^2 + 2\pi r(1)$
$SA = 2\pi r^2 + 2\pi r$
الآن وفقاً للمعطيات المعطاة في المسألة، نعرف أن مساحة السطح الكلي للأسطوانة تساوي $12\pi$ قدم مربع. لذا نستبدل $SA$ بقيمتها في المعادلة:
$12\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r$
نقوم بتبسيط المعادلة وحلها للعثور على قيمة $r$:
$2\pi r^2 + 2\pi r – 12\pi = 0$
نقوم بعملية التجميع ونحصل على:
$2\pi(r^2 + r – 6) = 0$
نستخدم الجذر التربيعي لحساب القيم الممكنة للـ $r$. نلاحظ أن الأسطوانة لا يمكن أن يكون لها نصف قطر سالب، لذا نستبعد القيمة السالبة ونركز على القيمة الإيجابية:
$r^2 + r – 6 = 0$
نقوم بعملية حل المعادلة بواسطة الجذور:
$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
حيث $a = 1$، $b = 1$، و $c = -6$.
$r = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 – 4(1)(-6)}}{2(1)}$
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}$
$r = \frac{-1 \pm 5}{2}$
لدينا اثنتان من الحلول المحتملة:
- $r = \frac{-1 + 5}{2} = 2$
- $r = \frac{-1 – 5}{2} = -3$
نستبعد القيمة السالبة لأن النصف القطر لا يمكن أن يكون سالبًا، لذا نقبل القيمة الإيجابية $r = 2$ قدم.
بما أن قيمة النصف القطر هي X، فإن قيمة المتغير المجهول هي $X = 2$ قدم.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، نستخدم القوانين والمفاهيم الأساسية في الهندسة والجبر.
-
مساحة سطح الأسطوانة:
يتكون سطح الأسطوانة من قسمين: قاعدتين دائريتين والجانب الأسطواني. مساحة قاعدة الأسطوانة هي $\pi r^2$، ومساحة الجانب الأسطواني هي $2\pi rh$. بالتالي، مساحة سطح الأسطوانة الكلية هي مجموع مساحتي القاعدتين والجانب الأسطواني: $2\pi r^2 + 2\pi rh$. -
حل المعادلة التربيعية:
نستخدم الجذر التربيعي لحل المعادلات التربيعية. المعادلة التربيعية العامة هي $ax^2 + bx + c = 0$، حيث $a$، $b$، و $c$ هي الثوابت و $x$ هو المتغير. -
استبعاد الحلول غير المنطقية:
نتأكد من استبعاد الحلول التي لا تتناسب مع السياق الفيزيائي للمسألة. في هذه الحالة، لا يمكن أن يكون النصف القطر أو الارتفاع للأسطوانة قيم سالبة أو غير ممكنة.
الحل بالتفصيل:
نعطي قيمة الارتفاع $h = 1$، والمساحة الإجمالية للسطح $SA = 12\pi$.
نستخدم المعادلة لمساحة سطح الأسطوانة:
SA=2πr2+2πrh
نعوض القيم المعطاة:
12π=2πr2+2πr(1)
نبسط المعادلة للحصول على:
12π=2πr2+2πr
نقوم بتبسيط المعادلة للوصول إلى المعادلة التربيعية:
2πr2+2πr−12π=0
نستخدم الجذر التربيعي لحل المعادلة للحصول على القيم الممكنة للنصف القطر $r$.
نحسب القيمة الموجبة والمنطقية لـ $r$ باستخدام العملية التالية:
r=2a−b±b2−4ac
حيث $a = 2\pi$، $b = 2\pi$، و $c = -12\pi$.
نحسب قيم $r$ باستخدام العملية:
r=2(2π)−2π±(2π)2−4(2π)(−12π)
بعد البسط والتبسيط، نحصل على:
r=4π−2π±4π2+96π2
r=4π−2π±100π2
r=4π−2π±10π
نحسب القيم الممكنة لـ $r$:
- r1=4π−2π+10π=4π8π=2
- r2=4π−2π−10π=4π−12π=−3
نستبعد $r_2$ لأن القيمة السالبة للنصف القطر غير منطقية في هذا السياق. لذا، القيمة الممكنة للنصف القطر هي $r = 2$ قدم.
وبما أن قيمة النصف القطر هي X، فإن القيمة المطلوبة للمتغير المجهول هي $X = 2$ قدم.