مسائل رياضيات

حل مسألة الأسطوانة الصلبة: العثور على النصف القطر من مساحة السطح (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
الصيغة لمساحة السطح الكلي لأسطوانة هي $SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$، حيث $r$ هو النصف القطر و $h$ هو الارتفاع. أسطوانة صلبة محددة بنصف قطر X قدم تمتلك مساحة سطح إجمالية تبلغ $12\pi$ قدم مربع. الارتفاع لهذه الأسطوانة هو 1. ما قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
نستخدم البيانات المعطاة لحل المسألة. لدينا معادلة لمساحة السطح الكلي للأسطوانة:

$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

ومن المعطيات نعرف أن قيمة الارتفاع $h = 1$ قدم. لذا نستبدل $h$ بقيمته المعروفة في المعادلة:

$SA = 2\pi r^2 + 2\pi r(1)$

$SA = 2\pi r^2 + 2\pi r$

الآن وفقاً للمعطيات المعطاة في المسألة، نعرف أن مساحة السطح الكلي للأسطوانة تساوي $12\pi$ قدم مربع. لذا نستبدل $SA$ بقيمتها في المعادلة:

$12\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r$

نقوم بتبسيط المعادلة وحلها للعثور على قيمة $r$:

$2\pi r^2 + 2\pi r – 12\pi = 0$

نقوم بعملية التجميع ونحصل على:

$2\pi(r^2 + r – 6) = 0$

نستخدم الجذر التربيعي لحساب القيم الممكنة للـ $r$. نلاحظ أن الأسطوانة لا يمكن أن يكون لها نصف قطر سالب، لذا نستبعد القيمة السالبة ونركز على القيمة الإيجابية:

$r^2 + r – 6 = 0$

نقوم بعملية حل المعادلة بواسطة الجذور:

$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = 1$، و $c = -6$.

$r = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 – 4(1)(-6)}}{2(1)}$

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}$

$r = \frac{-1 \pm 5}{2}$

لدينا اثنتان من الحلول المحتملة:

  1. $r = \frac{-1 + 5}{2} = 2$
  2. $r = \frac{-1 – 5}{2} = -3$

نستبعد القيمة السالبة لأن النصف القطر لا يمكن أن يكون سالبًا، لذا نقبل القيمة الإيجابية $r = 2$ قدم.

بما أن قيمة النصف القطر هي X، فإن قيمة المتغير المجهول هي $X = 2$ قدم.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة، نستخدم القوانين والمفاهيم الأساسية في الهندسة والجبر.

  1. مساحة سطح الأسطوانة:
    يتكون سطح الأسطوانة من قسمين: قاعدتين دائريتين والجانب الأسطواني. مساحة قاعدة الأسطوانة هي $\pi r^2$، ومساحة الجانب الأسطواني هي $2\pi rh$. بالتالي، مساحة سطح الأسطوانة الكلية هي مجموع مساحتي القاعدتين والجانب الأسطواني: $2\pi r^2 + 2\pi rh$.

  2. حل المعادلة التربيعية:
    نستخدم الجذر التربيعي لحل المعادلات التربيعية. المعادلة التربيعية العامة هي $ax^2 + bx + c = 0$، حيث $a$، $b$، و $c$ هي الثوابت و $x$ هو المتغير.

  3. استبعاد الحلول غير المنطقية:
    نتأكد من استبعاد الحلول التي لا تتناسب مع السياق الفيزيائي للمسألة. في هذه الحالة، لا يمكن أن يكون النصف القطر أو الارتفاع للأسطوانة قيم سالبة أو غير ممكنة.

الحل بالتفصيل:

نعطي قيمة الارتفاع $h = 1$، والمساحة الإجمالية للسطح $SA = 12\pi$.

نستخدم المعادلة لمساحة سطح الأسطوانة:
SA=2πr2+2πrhSA = 2\pi r^2 + 2\pi rh

نعوض القيم المعطاة:
12π=2πr2+2πr(1)12\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r(1)

نبسط المعادلة للحصول على:
12π=2πr2+2πr12\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r

نقوم بتبسيط المعادلة للوصول إلى المعادلة التربيعية:
2πr2+2πr12π=02\pi r^2 + 2\pi r – 12\pi = 0

نستخدم الجذر التربيعي لحل المعادلة للحصول على القيم الممكنة للنصف القطر $r$.

نحسب القيمة الموجبة والمنطقية لـ $r$ باستخدام العملية التالية:
r=b±b24ac2ar = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

حيث $a = 2\pi$، $b = 2\pi$، و $c = -12\pi$.

نحسب قيم $r$ باستخدام العملية:
r=2π±(2π)24(2π)(12π)2(2π)r = \frac{-2\pi \pm \sqrt{(2\pi)^2 – 4(2\pi)(-12\pi)}}{2(2\pi)}

بعد البسط والتبسيط، نحصل على:
r=2π±4π2+96π24πr = \frac{-2\pi \pm \sqrt{4\pi^2 + 96\pi^2}}{4\pi}
r=2π±100π24πr = \frac{-2\pi \pm \sqrt{100\pi^2}}{4\pi}
r=2π±10π4πr = \frac{-2\pi \pm 10\pi}{4\pi}

نحسب القيم الممكنة لـ $r$:

  1. r1=2π+10π4π=8π4π=2r_1 = \frac{-2\pi + 10\pi}{4\pi} = \frac{8\pi}{4\pi} = 2
  2. r2=2π10π4π=12π4π=3r_2 = \frac{-2\pi – 10\pi}{4\pi} = \frac{-12\pi}{4\pi} = -3

نستبعد $r_2$ لأن القيمة السالبة للنصف القطر غير منطقية في هذا السياق. لذا، القيمة الممكنة للنصف القطر هي $r = 2$ قدم.

وبما أن قيمة النصف القطر هي X، فإن القيمة المطلوبة للمتغير المجهول هي $X = 2$ قدم.