حل مسألة الأسس والقوى: تطبيقات وقوانين (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة تتعلق بالأسس والقوى، حيث نُطلب تحديد قيمة التعبير $7^{4x-3}$ إذا كان $7^{4x} = 343$.

لنقم بإعادة صياغة السؤال بالشكل المطلوب:

نعلم أن $7^{4x} = 343$. لكن $343$ يُمكن تمثيله كقوة للعدد $7$، وذلك يعني أن $343 = 7^3$. إذاً:

$7^{4x} = 7^3$

ومن ثم، نستنتج أن $4x = 3$، حيث أن الأساس متساوي في الحالتين.

الآن، لحساب قيمة $7^{4x-3}$، يمكننا استخدام القاعدة التي تقول أنه يمكننا تقسيم الأسس عند القسمة، أي:

$7^{4x-3} = \frac{7^{4x}}{7^3}$

ونعلم أن $7^{4x} = 343$ و $7^3 = 343$ أيضًا، لذا:

$7^{4x-3} = \frac{343}{343} = 1$

إذاً، قيمة التعبير $7^{4x-3}$ هي 1.

وهذا يعني أنه بغض النظر عن قيمة $x$، التعبير $7^{4x-3}$ سيكون دائمًا يساوي 1.

لحل المسألة المذكورة، دعونا ننظر فيها بتفصيل أكبر مع استخدام القوانين المناسبة للأسس والقوى:

المعطيات:
$7^{4x} = 343$

نريد حساب قيمة $7^{4x-3}$.

خطوات الحل:

1. تمثيل الأسس بشكل متساوٍ: نعلم أن $343 = 7^3$. يمكن تمثيل $343$ بأساس 7 وقوة 3.

2. المطابقة بين الأسس: لدينا $7^{4x} = 343$ و $343 = 7^3$.

   لذلك، $7^{4x} = 7^3$.

3. تطابق الأسس والمقارنة: بالتساوي بين الأساسين، نحصل على:

   $4x = 3$

4. حساب قيمة $x$: نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة $x$.

   $x = \frac{3}{4}$

5. استخدام القاعدة للأسس: نستخدم القاعدة التي تقول إنه عند قسمة الأسس في القوة نطرح الأسس.

   $7^{4x-3} = \frac{7^{4x}}{7^3}$

6. تعويض قيمة $x$ والحساب: بمعرفة أن $x = \frac{3}{4}$، يمكننا تعويض قيمة $x$ في الصيغة.

   $7^{4(\frac{3}{4}) – 3} = \frac{7^{3}}{7^3}$

   وهذا يتساوى مع:

   $7^{3} \div 7^{3} = 1$

7. الإجابة: القيمة النهائية للتعبير $7^{4x-3}$ هي 1.

القوانين المستخدمة:

• قانون مطابقة الأسس: يمكن مطابقة الأسس ومقارنتها عند المساواة.
• قاعدة القسمة للأسس: عند قسمة الأسس في القوة، يمكن تطبيق قاعدة القسمة للأسس.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حساب القيمة المطلوبة بطريقة دقيقة ومفهومة.