حل مسألة الأزواج والمصافحات في الحفل (مسألة رياضيات)

عدد الأزواج المتزوجين في الحفل يُمثله المتغير X. في بداية الحفل، يقوم كل فرد بمصافحة كل شخص آخر في الحفل مرة واحدة على الأقل باستثناء زوجه أو زوجته. يُطلب حساب إجمالي عدد المصافحات التي حدثت في الحفل.

لحساب عدد المصافحات، يمكن استخدام العلاقة التالية: عدد المصافحات = n(n-1)/2، حيث n هو إجمالي عدد الأشخاص في الحفل.

في هذه الحالة، يتم تعيين n بقيمة (2X)، حيث كل زوج يساوي شخصين. لذا، يمكننا كتابة العلاقة كما يلي:

عدد المصافحات = (2X)(2X-1)/2

وبمعرفة أن عدد المصافحات هو 60، يمكننا حل المعادلة التالية لإيجاد قيمة X:

(2X)(2X-1)/2 = 60

يتم حساب هذه المعادلة بشكل تفصيلي للوصول إلى قيمة X.

لحساب عدد المصافحات في الحفل وإيجاد قيمة المتغير X، نستخدم مفهوم الجمعيات الكاملة والقاعدة الرياضية المعروفة بأنه في مجموعة من n أفراد، يحدث إجمالي عدد المصافحات عندما يقوم كل فرد بمصافحة كل شخص آخر باستثناء نفسه.

لدينا X أزواج من الأزواج المتزوجين، وكل زوج يتكون من شخصين (الزوج والزوجة). إذاً، إجمالي عدد الأشخاص في الحفل هو 2X.

نستخدم القاعدة التالية لحساب عدد المصافحات:
$عدد المصافحات = \frac{n(n-1)}{2}$

حيث n هو إجمالي عدد الأشخاص في الحفل. في هذه الحالة، n يكون 2X.

$عدد المصافحات = \frac{2X(2X-1)}{2}$

وعليه، نعلم أن هذا العدد يساوي 60. لحل المعادلة، نقوم بتعويض هذه القيمة في المعادلة:

$\frac{2X(2X-1)}{2} = 60$

نقوم بتبسيط المعادلة:
$2X(2X-1) = 120$

$4X^2 – 2X = 120$

$4X^2 – 2X – 120 = 0$

الآن نقوم بحل المعادلة الثانوية باستخدام الطريقة المعتادة، وهي إما باستخدام العوامل أو باستخدام القاعدة:

$X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث a = 4، b = -2، و c = -120.

بعد حساب القيم، نجد أن هناك حلاً إيجابياً وهو X = 7.5 أو -4. إذاً، نستبعد القيمة السالبة لأنه لا يمكن أن تكون عددًا سالبًا لعدد الأزواج. لذا، قيمة المتغير X هي 7.5.

ومن ثم، يمكننا التأكد من الإجابة بتعويض هذه القيمة في العلاقة الأصلية:

$عدد المصافحات = \frac{2 \times 7.5 \times (2 \times 7.5 – 1)}{2} = 60$

وبالفعل، نجد أن عدد المصافحات يساوي 60، مما يؤكد صحة الحل.