حل مسألة الأزواج الرياضية: معادلات وتفاصيل (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد عدد الأزواج المرتبة $(x,y,z)$ من الأعداد الحقيقية حيث تتحقق المعادلتين $x + y = 2$ و $xy – z^2 = 1$.

لنبدأ بإعادة كتابة المسألة بالعربية:

“العثور على عدد الأزواج المرتبة $(x، y، z)$ من الأعداد الحقيقية حيث تتحقق المعادلات $x + y = 2$ و $xy – z^2 = 1$.”

الآن، دعنا نقوم بحل المسألة:

نبدأ بحل المعادلة الأولى: $x + y = 2$

من هذه المعادلة، يمكننا حل لأحد الغير معروفين بالنسبة للآخر، فمثلاً نفترض أن $x = 2 – y$.

الآن نقوم بتعويض قيمة $x$ في المعادلة الثانية:

$(2 – y)y – z^2 = 1$

نوجد أن $-y^2 + 2y – z^2 + 1 = 0$.

وتكون المعادلة السابقة هي معادلة من الدرجة الثانية بالنسبة للمتغير $y$.

من هنا يمكننا حساب قيم $y$ الممكنة باستخدام الدلالة:

$\Delta = b^2 – 4ac$ حيث $a = -1$، $b = 2$ و $c = -z^2 + 1$.

ونجد أن $\Delta = 4 – 4(-z^2 + 1) = 4z^2 – 4z^2 + 4 = 4$.

وبالتالي $\Delta > 0$، ومن ثم يوجد حلاً حقيقياً لهذه المعادلة لكل قيمة حقيقية للمتغير $z$.

إذن، نحتاج إلى حساب قيم $y$ الممكنة.

ومن المعادلة $-y^2 + 2y – z^2 + 1 = 0$، نستخدم الصيغة التالية:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

وباستخدام القيم المعطاة للمعاملات، نجد:

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4}}{-2} = 1 \pm 1$.

إذاً، $y$ يمكن أن تكون $0$ أو $2$.

عندما $y = 0$، نلاحظ أن $x = 2$، فنحصل على الزوج $(2, 0, z)$.

عندما $y = 2$، نجد أن $x = 0$، فنحصل على الزوج $(0, 2, z)$.

إذاً، لكل قيمة حقيقية لـ $z$، هناك زوجان من الأعداد الحقيقية يحققان الشروط المطلوبة.

بما أن $z$ هو عدد حقيقي، فإن عدد الأزواج الممكنة هو عدد غير محدود، لذا لا نستطيع تحديد عدد محدد للأزواج المطابقة.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بتطبيق مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية. سنبدأ بتحليل العلاقات بين المتغيرات واستخدام القوانين المناسبة للوصول إلى الحل.

المعادلات المعطاة هي:

1. $x + y = 2$
2. $xy – z^2 = 1$

لحل هذه المسألة، نستخدم طرق حل المعادلات الرياضية المختلفة والتي تتضمن:

أولاً، نستخدم المعادلة الأولى للتعبير عن أحد المتغيرات بالنسبة للآخر. في هذه الحالة، يمكننا التعبير عن $x$ بالنسبة ل $y$ كما يلي: $x = 2 – y$.

بعد ذلك، نستخدم هذا التعبير لتعويض قيمة $x$ في المعادلة الثانية، للحصول على معادلة بمتغير واحد. بعد التعويض، نحصل على:

$(2 – y)y – z^2 = 1$

هذه المعادلة هي معادلة من الدرجة الثانية في المتغير $y$. نقوم بحل هذه المعادلة باستخدام الطريقة المعتادة لحساب الجذور.

نقوم بحساب القيمة المتوقعة للمتغير $y$ باستخدام الصيغة التالية:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

حيث $a = -1$، $b = 2$، و $c = -z^2 + 1$.

بعد ذلك، نستخدم المعادلة الأولى مرة أخرى للعثور على القيم الممكنة لل $x$ بناءً على القيم التي حصلنا عليها ل $y$.

أخيرًا، بمجرد العثور على القيم الممكنة لـ $x$ و $y$، يمكننا استخدام المعادلة الثانية للتحقق مما إذا كانت الأزواج المرتبة المحتملة تحقق المعادلة الثانية أم لا.

تلخيصًا، نستخدم الخطوات التالية:

1. استخدام المعادلة الأولى للتعبير عن أحد المتغيرات بالنسبة للآخر.
2. تعويض القيم في المعادلة الثانية.
3. حساب القيم الممكنة للمتغيرات.
4. التحقق من الأزواج المرتبة المحتملة للمعادلة الثانية.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية المناسبة، يمكننا العثور على الأزواج المرتبة $(x، y، z)$ التي تحقق الشروط المعطاة في المسألة.