حل مسألة الأرقام والمتوسطات بطريقة تفصيلية (مسألة رياضيات)

متوسط تسعة أرقام هو 54. إذا تمت إضافة العددين $u$ و $v$ إلى القائمة، يصبح متوسط القائمة البالغة عدد أعضائها أحد عشر عددًا هو 66. ما هو متوسط العددين $u$ و $v$؟

لحل هذه المسألة، نستخدم المعلومات المتاحة حول المتوسط الحسابي. المتوسط الحسابي يُحسب بجمع جميع الأرقام ثم قسمتها على عددها. لدينا متوسطًا لتسعة أرقام يُعطى بواسطة المعادلة:

$\frac{a + b + c + d + e + f + g + h + i}{9} = 54$

حيث $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ هي الأرقام الأصلية.

عند إضافة $u$ و $v$، يكون لدينا متوسط القائمة الجديدة بواسطة المعادلة:

$\frac{a + b + c + d + e + f + g + h + i + u + v}{11} = 66$

الآن، يمكننا استخدام هذه المعلومات لحساب قيم $u$ و $v$. أولاً، نعيد ترتيب المعادلة الثانية للحصول على قيمة الجمع:

$a + b + c + d + e + f + g + h + i + u + v = 11 \times 66$

ثم، نستخدم المعادلة الأولى لاستبدال القيمة المعروفة لجمع الأرقام:

$11 \times 66 = 9 \times 54 + u + v$

نقوم بحساب هذه القيم:

$726 = 486 + u + v$

من هنا، نجد:

$u + v = 240$

الآن، لحساب متوسط $u$ و $v$، نقوم بقسم الجمع على عددهما:

$\frac{u + v}{2} = \frac{240}{2} = 120$

إذاً، متوسط العددين $u$ و $v$ هو 120.

بالطبع، دعونا نقوم بتفصيل حلا المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، مع الإشارة إلى القوانين الرياضية المستخدمة في كل خطوة.

لنبدأ بالمتوسط الأول لتسعة أرقام:

$\frac{a + b + c + d + e + f + g + h + i}{9} = 54$

هنا، نقوم بضرب الجهتين في 9 للتخلص من المقام:

$a + b + c + d + e + f + g + h + i = 9 \times 54$

$a + b + c + d + e + f + g + h + i = 486$

الخطوة الثانية تشير إلى إضافة $u$ و $v$ وحساب المتوسط الجديد:

$\frac{a + b + c + d + e + f + g + h + i + u + v}{11} = 66$

نعيد ترتيب المعادلة للحصول على قيمة الجمع:

$a + b + c + d + e + f + g + h + i + u + v = 11 \times 66$

نستخدم المعلومات السابقة لاستبدال القيم:

$486 + u + v = 726$

نقوم بطرح 486 من الجهتين:

$u + v = 240$

الآن، نحتاج إلى حساب متوسط $u$ و $v$:

$\frac{u + v}{2} = \frac{240}{2} = 120$

القوانين المستخدمة:

1. متوسط الأعداد:
   $\text{متوسط} = \frac{\text{مجموع الأعداد}}{\text{عددها}}$

2. قاعدة حساب المتوسط لقائمة جديدة:
   $\text{متوسط القائمة الجديدة} = \frac{\text{مجموع القائمة الجديدة}}{\text{عدد أعضاء القائمة الجديدة}}$

3. التعويض في المعادلات:
   $\text{إذا كان} \: a + b + c + \ldots = x \: \text{فإن} \: a + b + c + \ldots + n = x + n$

4. حل المعادلات:
   $\text{إذا كانت} \: x + y = z \: \text{فإن} \: y = z – x$

5. قاعدة الجمع والطرح:
   $\text{إذا كان} \: a + b = c \: \text{فإن} \: b = c – a$

6. القسمة:
   $\text{إذا كان} \: \frac{x}{2} = y \: \text{فإن} \: x = 2y$

7. تطبيق القوانين الرياضية لحساب الجمع والطرح:
   $\text{استخدام القوانين الرياضية لتبسيط المعادلات والحسابات.}$

بهذه الطريقة، نستنتج أن متوسط الأعداد $u$ و $v$ هو 120.