حل مسألة الأرقام الأولية المنزلية (مسألة رياضيات)

إذا كان رقم منزل الدكتور ماث يتكون من أربعة أرقام، $ABCD$، ولا يحتوي على أصفار، ويمكن تقسيمه إلى عددين أوليين مختلفين لهما رقمان من الأرقام، $AB$ و $CD$، حيث أن الأرقام $A$ و $B$ و $C$ و $D$ قد لا تكون مختلفة بالضرورة. إذا كان كل من العددين الأوليين يقل عن 40، فكم عدداً من هذه الأرقام الممكنة؟

لنقوم بحساب الأرقام الممكنة بناءً على الشروط المعطاة:

1. العددين $AB$ و $CD$ هما أوليان أقل من 40.
2. $A$ و $C$ هما الأرقام الأولى في الأعداد الأولية.
3. لا يمكن أن يكون أحد الأرقام $A$ أو $C$ أو $D$ يساوي صفرًا.

لحل هذه المسألة، سنبدأ بتحديد الأعداد الأولية التي تقل عن 40. هذه الأعداد هي: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37.

الآن، لنتحقق مما إذا كان يمكن تشكيل أرقام العشرات والوحدات بشكل صحيح من الأرقام الأولية المتاحة.

للحصول على العددين $AB$ و $CD$، يجب مراعاة توافق الأعداد لتشكيل أرقام أولية صحيحة. يمكننا تجريب جميع الجمعيات المحتملة للأرقام الأولية $A$، $B$، $C$، و $D$، والتأكد من أن كل من $AB$ و $CD$ أقل من 40 وهما أعداد أولية.

لنقم بذلك:

• $A$ و $C$ يجب أن تكونا 2 أو 3.
• $B$ و $D$ يمكن أن تكون أي أرقام من 1 إلى 9 بدون الصفر.

نبدأ بالتجريب:

1. إذا كان $A = 2$، فإن $B$ يمكن أن يكون من 1 إلى 9، وبالتالي $AB$ يمكن أن تكون القيم التالية: 23، 29، 31، 37.
2. إذا كان $A = 3$، فإن $B$ يمكن أن يكون من 1 إلى 9، وبالتالي $AB$ يمكن أن تكون القيم التالية: 37.

بالنظر إلى الأعداد الممكنة التي يمكن تكوينها، نجد أن هناك 4 أرقام منزلية ممكنة:

• 23
• 29
• 31
• 37

إذاً، هناك 4 أرقام منزلية ممكنة وفقاً للشروط المعطاة في المسألة.

لحل المسألة بشكل مفصل، سنستخدم القوانين التالية:

1. قوانين الأعداد الأولية: نحتاج إلى معرفة الأعداد الأولية التي تقل عن 40، حيث يمكن أن تتكون الأرقام الثنائية منها.
2. قوانين تكوين الأرقام: يجب علينا فحص جميع الجمعيات الممكنة للأرقام الثنائية للتأكد من أن كل منها يمثل عددًا أوليًا وأنها أقل من 40.
3. شرط عدم وجود صفر في أي من أرقام العشرات في الأعداد الثنائية.

لنقم بحساب الأعداد الأولية التي تقل عن 40:

2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37.

الآن، سنقوم بتجريب الجمعيات الممكنة للأرقام الثنائية، وذلك باختيار كل من $A$ و $C$ من بين الأعداد الأولية و $B$ و $D$ من بين الأرقام من 1 إلى 9 (باستثناء الصفر). نحتاج أيضًا إلى التأكد من عدم وجود أي من الأرقام يساوي الصفر.

بعد ذلك، نتحقق مما إذا كانت الجمعيات المكونة تحقق الشروط التالية:

• كل من $AB$ و $CD$ هما أعداد أولية.
• كل من $AB$ و $CD$ أقل من 40.

وفي النهاية، سنعد الأعداد المنزلية التي تمثل كل من هذه الجمعيات المتوافقة مع الشروط.

باختصار، الحل يكمن في تجريب جميع الجمعيات المحتملة والتأكد من تلبية الشروط المطلوبة، ومن ثم عدد الأعداد المنزلية الصحيحة وفقًا للشروط.