حل مسألة الأداء العملي باستخدام الزمن

قدرة العامل P تستغرق 40 يومًا لإكمال العمل بمفردها، بينما تحتاج العامل Q إلى 24 يومًا للقيام بنفس العمل بمفرده. بدأ العامل P العمل بمفرده وعمل لمدة 8 أيام، ثم انضم إليه العامل Q لإكمال باقي العمل. السؤال هو: كم استغرق العمل كاملاً؟

لنقم بحساب معدل أداء كل عامل بمفرده:

معدل أداء P = العمل الكلي / الزمن المستغرق = 1 / 40 يومًا

معدل أداء Q = العمل الكلي / الزمن المستغرق = 1 / 24 يومًا

عندما يعمل P بمفرده لمدة 8 أيام، يكمل:

العمل الذي أنجزه P في 8 أيام = معدل أداء P * الزمن = (1 / 40) * 8 = 1 / 5

ثم ينضم Q، ويعملان معًا للانتهاء من باقي العمل. لحساب الوقت الذي يستغرقهما لإكمال العمل:

العمل الذي يتبقى = العمل الكلي – العمل الذي أنجزه P بمفرده = 1 – 1 / 5 = 4 / 5

لحساب الوقت الذي يحتاجانه لإكمال هذا العمل:

الزمن المستغرق = العمل الذي يتبقى / معدل أداء الفريق (P و Q معًا)

= (4 / 5) / (معدل أداء P + معدل أداء Q)

= (4 / 5) / ((1 / 40) + (1 / 24))

لتبسيط العبارة، يمكننا ضرب العداد والمقام في هذه الكسر بوحدة 120 (40 * 24):

= (4 / 5) / ((3 + 5) / 120)

= (4 / 5) / (8 / 120)

الآن، يمكننا ضرب الكسر الأول في الكسر الثاني:

= (4 / 5) * (120 / 8)

= (4 * 120) / (5 * 8)

= 480 / 40

= 12

لذا، يحتاج العاملان P و Q معًا إلى 12 يومًا لإكمال العمل الباقي. وبما أن العامل P بدأ العمل وعمل لمدة 8 أيام، إذاً الزمن الإجمالي اللازم لإكمال العمل كاملاً هو:

8 أيام (العمل الذي أنجزه P بمفرده) + 12 يومًا (العمل الذي قام به P و Q معًا) = 20 يومًا

إذاً، استغرق العمل كاملاً 20 يومًا.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحديد معدل أداء كل عامل بمفرده ومن ثم نستخدم قوانين الأداء العملي لحساب الوقت اللازم لإكمال العمل.

لنعيد تصيغ المعادلات ونستخدم الرموز المناسبة:

للعامل P:
$معدل \, أداء \, P = \frac{العمل \, الكلي}{الزمن \, المستغرق \, بواسطة \, P} = \frac{1}{40}$

للعامل Q:
$معدل \, أداء \, Q = \frac{العمل \, الكلي}{الزمن \, المستغرق \, بواسطة \, Q} = \frac{1}{24}$

عندما يعمل P بمفرده لمدة 8 أيام:
$العمل \, الذي \, أنجزه \, P = معدل \, أداء \, P \times الزمن = \frac{1}{40} \times 8 = \frac{1}{5}$

ثم ينضم Q، ويعملان معًا للانتهاء من باقي العمل. لحساب الوقت الذي يستغرقهما لإكمال العمل باقي العمل:
$العمل \, الذي \, يتبقى = العمل \, الكلي – العمل \, الذي \, أنجزه \, P = 1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

لحساب الوقت الذي يحتاجانه لإكمال هذا العمل معًا، سنستخدم قاعدة العمل المشترك:
$الزمن \, المستغرق = \frac{العمل \, الذي \, يتبقى}{معدل \, أداء \, الفريق}$

حيث:
$معدل \, أداء \, الفريق = معدل \, أداء \, P + معدل \, أداء \, Q$

نستبدل القيم:
$الزمن \, المستغرق = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{40} + \frac{1}{24}}$

لتبسيط الكسور، يمكننا ضرب العداد والمقام في هذه الكسر بوحدة 120 (40 * 24):
$الزمن \, المستغرق = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3 + 5}{120}}$

ثم نقوم بالضرب للتبسيط:
$الزمن \, المستغرق = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{8}{120}}$

الآن، نقوم بضرب الكسرين:
$الزمن \, المستغرق = \frac{4}{5} \times \frac{120}{8}$

ونحسب القيمة:
$الزمن \, المستغرق = \frac{480}{40} = 12$

إذاً، يحتاج العاملان P و Q معًا إلى 12 يومًا لإكمال العمل الباقي. وبما أن العامل P بدأ العمل وعمل لمدة 8 أيام، إذاً الزمن الإجمالي اللازم لإكمال العمل كاملاً هو:
$8 أيام (العمل الذي أنجزه P بمفرده) + 12 يومًا (العمل الذي قام به P و Q معًا) = 20 يومًا$

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي قوانين الأداء العملي وقاعدة العمل المشترك.